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Signum einer Zahl

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assass612 aktiv_icon

19:21 Uhr, 05.11.2017

Guten Abend,

zu folgender Aufgabe habe ich eine Frage:
Für welche

x

∈

R

ist folgender Ausdruck erfüllt:
sign(

- x + 2 \cdot \sqrt{| x - 1 |} = 0

Mein Ansatz ist folgender:
sign

(- x + 2 \cdot \sqrt{| x - 1 |}) = 0

\Leftrightarrow

(- x + 2 \cdot \sqrt{| x - 1 |}) = 0

\Leftrightarrow

- x + 2 \cdot \sqrt{| x - 1 |} = 0

\Leftrightarrow

\sqrt{| x - 1 |} = \frac{x}{2}

beide seiten quadrieren und nach 0 auflösen:

0 = - 0.25 x^{2} + x - 1

\Rightarrow x = 2

Ist diese Rechnung genug als Lösung der Aufgabe? Denn bisher haben wir bei solchen Aufgaben Fallunterscheidungen für

x < 0

und

x \geq 0

gemacht die ich nicht so ganz verstehe und ich fand diesen Ansatz doch eher leichter um die Aufgabe zu lösen.

Danke schonmal im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

19:29 Uhr, 05.11.2017

Hallo
Du machst bis
"beide seiten quadrieren und nach 0 auflösen:"
schön langsam Schritt für Schritt,
und dann genau hier plötzlich 5 Schritte auf einmal, die du offensichtlich selbst nicht mehr überblickst.

1)

Mach mal auch ab hier schön langsam Schritt für Schritt weiter,

2)

und nimm deinen eigenen Tipp mit der Fallunterscheidung gerne ernst.

3)

Quadrieren ist keine Äquivalenz-Umformung. Immer die Kontrolle machen!

assass612 aktiv_icon

19:50 Uhr, 05.11.2017

Danke für die schnelle Antwort! Verstehe dann mach ich es mal Schritt für Schritt:

sign

(- x + 2 \cdot \sqrt{| x - 1 |}) = 0

\Leftrightarrow

(- x + 2 \cdot \sqrt{| x - 1 |}) = 0

\Leftrightarrow

- x + 2 \cdot \sqrt{| x - 1 |} = 0

\Leftrightarrow

\sqrt{| x - 1 |} = \frac{x}{2}

Quadrieren:

x - 1 = 0.25 x^{2} | - x, + 1

\Leftrightarrow

0 = 0.25 x^{2} - x + 1

Mitternachtsformel zur Bestimmung von

x 1, x 2 :

(1 + \frac{\sqrt{1^{2} - (4 \cdot 0,25 \cdot 1)}}{0,5}) = 2 = x 1

(1 - \frac{\sqrt{1^{2} - (4 \cdot 0,25 \cdot 1)}}{0,5}) = 2 = x 2

\Rightarrow x = 2

Das mit der Fallunterscheidung verstehe ich wie schon gesagt nicht so ganz. Auch fällt mir gerade auf, dass eine Fallunterscheidung bei

(x) = 0

für

x \geq 0

und

x < 0

keinen großen sinn machen würde da man ja in diesem Fall kein Intervall sondern bestimmte x-Werte sucht

anonymous

19:54 Uhr, 05.11.2017

Nach "Quadrieren" stünde da zunächst mal wenn du Schritt für Schritt machtest:

| x - 1 | = \frac{x^{2}}{4}

Und jetzt - Fallunterscheidung.
Den einen Fall hast du ja schon gemacht.
Aber hast du auch die Kontrolle gemacht?

assass612 aktiv_icon

19:58 Uhr, 05.11.2017

Aber fällt der Betrag nach dem quadrieren nicht automatisch weg im reellen Zahlenbereich? Die Kontrolle für

x = 2

habe ich gemacht:

- 2 + 2 \cdot \sqrt{| 2 - 1 |} = 0

geht auf
welchen anderen Fall meinst du?

anonymous

20:00 Uhr, 05.11.2017

"Aber fällt der Betrag... nicht weg?"
NEIN.

"welchen anderen Fall meinst du?"
Eben den anderen 'Betrags-Fall'.

abakus

20:11 Uhr, 05.11.2017

Hallo assass612,
als Ansporn für dich:
Es gibt eine weitere Lösung in der Nähe von 0,828.

assass612 aktiv_icon

20:12 Uhr, 05.11.2017

Tut mir leid aber ich stehe gerade komplett auf dem Schlauch. Ich habe keinen Ansatz wie ich die Fallunterscheidung bei dieser Gleichung angehen soll, hatte nämlich die ganze Zeit im Kopf, dass man den Betrag mit dem quadrieren wegkürzen könne. Wäre dir für einen Ansatz sehr dankbar.

abakus

20:14 Uhr, 05.11.2017

Wie ist der Betrag von x-1 definiert
- wenn x> 1 gilt
- WENN x<1 GILT ?????

anonymous

20:35 Uhr, 05.11.2017

Du musst den

| x - 1 |

untersuchen.

Das macht man normalerweise per Falluntersuchung.

1 .)

Fall

(x - 1) > 0

Das ist der 'leichtere' Fall, den du schon machtest:
Für

(x - 1) > 0

ist

| x - 1 | = x - 1

2 .)

Fall

(x - 1) < 0

Für

(x - 1) < 0

ist

| x - 1 | = . .

assass612 aktiv_icon

20:38 Uhr, 05.11.2017

Okay also:

| x - 1 | = \frac{x^{2}}{4}

1. Fall:

x \geq 1

\Rightarrow

Betragsstriche können weggelassen werden da der Term

| x - 1 |

für

x \geq 1

nicht negativ ist.

\Rightarrow x - 1 = \frac{x^{2}}{4}

(Umformen, Mitternachtsformel...)

x = 2,

erfüllt auch die Bedingung

x \geq 1

L 1 = {2}

2. Fall:

x < 1 :

| x - 1 |

kann dann umgeschrieben werden in

- (x - 1)

\Rightarrow

- (x - 1) = \frac{x^{2}}{4}

\Leftrightarrow

- x + 1 = \frac{x^{2}}{4} | + x - 1

0 = \frac{x^{2}}{4} + x - 1

Mitternachtsformel angewendet:

x 1 = - 2 + 2 \sqrt{2}

x 2 = - 2 - 2 \sqrt{2}

L 2 = {- 2 - 2 \sqrt{2}; - 2 + 2 \sqrt{2}}

sowohl

x 1

als auch

x 2

erfüllen die Bedingung

x < 1

Die Kontrolle geht für

x 1

auf, jedoch nicht für

x 2

abakus

20:41 Uhr, 05.11.2017

Richtig.

2 \sqrt{2} - 2

(der genaue Wert für meinen vorhin erwähnten Näherungswert 0,828) ist die noch fehlende zweite Lösung.

anonymous

20:46 Uhr, 05.11.2017

Prinzipiell jetzt richtig.
Empfehlung trotzdem, um das formal noch etwas verständlich und gültig zu gestalten:

Du hattest die Lösung

x_{1} = 2

Wenn du hier schon eine Lösung hast, dann würde ich doch den weiteren Lösungskandidaten neue Namen geben, also:

x_{2} = - 2 - \sqrt{8}

x_{3} = - 2 + \sqrt{8}

Dann machst du die Kontrolle.
Dann nennst du die Lösungsmenge.
Und in der Lösungsmenge nennst du natürlich nur die gültigen Lösungen.
Hier

>

die Lösung

x_{1} = 2

wegzulassen

>

oder die ungültige Lösung

x_{2}

zu benennen
wer soll da noch durchblicken?

Lösungsmenge:
LL

= {x | x = 2

oder

x = 2 \cdot \sqrt{2} - 2}

assass612 aktiv_icon

21:00 Uhr, 05.11.2017

Alles klar ich hab das noch verbessert.
Danke euch vielmals für die Hilfe!

assass612 aktiv_icon

21:00 Uhr, 05.11.2017

Danke euch beiden für die Hilfe!

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