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Sind meine Lösungen richtig?

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Tags: Aitken-Neville, dividierte Differenzen, Interpolationspolynom, Lagrange, newton, Stützstellen, Vandermone

Molly23

13:33 Uhr, 13.01.2013

Hallo!

Es wäre nett, wenn sich jemand mal meine Lösungen zu den folgenden drei aufgaben angucken und mir sagen könnte, ob das so richtig ist:

1)

Approximation von

{log}_{2} (\frac{3}{2})

mit dem Aitken-Neville-Algorithmus berechnen, Stützstellen

1, 2

und 4.
Lösung:

f (x) = {log}_{2} (x), x = \frac{3}{2}

| \begin{matrix} i : & 0 & 1 & 2 \\ x_{i} : & 1 & 2 & 4 \\ f_{i} : & 0 & 1 & 2 \end{matrix} |

P_{1,1}^{\frac{3}{2}} = \frac{(\frac{3}{2} - 1) \cdot 1 - (\frac{3}{2} - 2) \cdot 0}{2 - 1} = \frac{1}{2}

P_{2,1}^{\frac{3}{2}} = \frac{(\frac{3}{2} - 2) \cdot 2 - (\frac{3}{2} - 4) \cdot 1}{4 - 2} = - \frac{7}{4}

P_{2,2}^{\frac{3}{2}} = \frac{(\frac{3}{2} - 1) \cdot (- \frac{7}{4}) - (\frac{3}{2} - 4) \cdot \frac{1}{2}}{4 - 1} = \frac{1}{8}

Also

P (f | 0,1,2) (\frac{3}{2}) = \frac{1}{8}

2)Die Funktion

f (x) =

asin(x) soll mit einem Polynom vom Grad

3

in den Stützstellen

x_{0} = - 1, x_{1} = 0, x_{2} = \frac{1}{2}

und

x_{3} = 1

interpoliert werden.

a)

Lagrange-Polynome:

| \begin{matrix} i : & 0 & 1 & 2 & 3 \\ x_{i} : & - 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ f_{i} : & - \frac{1}{2} π & 0 & \frac{1}{6} π & \frac{1}{2} π \end{matrix} |

L_{0} (x) = \frac{(x - 0) (x - \frac{1}{2}) (x - 1)}{(- 1 - 0) (- 1 - \frac{1}{2}) (- 1 - 1)} = - \frac{1}{3} (x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x)

L_{1} (x) = \frac{(x + 1) (x - \frac{1}{2}) (x - 1)}{(0 + 1) (0 - \frac{1}{2}) (0 - 1)} = 2 (x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2})

L_{2} (x) = \frac{(x + 1) (x - 0) (x - 1)}{(\frac{1}{2} + 1) (\frac{1}{2} + 0) (\frac{1}{2} - 1)} = - \frac{4}{3} (x^{3} - x)

L_{3} (x) = \frac{(x + 1) (x - 0) (x - \frac{1}{2})}{(1 + 1) (1 - 0) (1 - \frac{1}{2})} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x

P_{3} (x) = - \frac{1}{2} π \cdot L_{0} (x) + 0 \cdot L_{1} (x) + \frac{1}{6} π \cdot L_{2} (x) + \frac{1}{2} π \cdot L_{3} (x) = π (- \frac{2}{9} x^{3} + x^{2} - \frac{5}{18} x)

b)Vandermonde-Matrix:

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} π \\ 0 \\ \frac{1}{6} π \\ \frac{1}{2} π \end{matrix})

\Leftrightarrow a_{0} = 0, a_{1} = \frac{5}{18} π, a_{2} = 0, a_{3} = \frac{2}{9} π

\Rightarrow \frac{5}{18} π x + \frac{2}{9} π x^{3}

c)

Newton-Darstellung und dividierte Differenzen:

P (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0}) (x - x_{1}) + a_{3} (x - x_{0}) (x - x_{1}) (x - x_{2})

a_{0} = - \frac{1}{2} π, a_{1} = \frac{1}{2} π; a_{2} = \frac{5}{9} π, a_{3} = - \frac{1}{9} π

- \frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π (x - 1) + \frac{5}{9} π (x + 1) (x - 0) - \frac{1}{9} (x + 1) (x - 0) (x - \frac{1}{2})

= - \frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π x + \frac{1}{2} π + \frac{5}{9} π x^{2} + \frac{5}{9} π x - \frac{1}{9} π x^{3} + \frac{1}{18} π x^{2} - \frac{1}{9} π x^{2} + \frac{1}{18} π x

= - \frac{1}{9} π x^{3} + \frac{1}{2} π x^{2} + \frac{10}{9} π x + π

3)

Gegeben seien zwei Funktionen

f, g : [a, b] \Rightarrow ℝ

sowie

a = t_{0} < t_{1} <

...

t_{n} = b

. Zeigen Sie die Leibnizformel für die dividierten Differenzen.

[t_{0}, ..., t_{n}

]

(fg)

= \sum_{i = 0}^{n} [t_{0}, ..., t_{1}] f \cdot [t_{i}, ..., t_{n}] g

.
(möglicher Hinweis. Überlegen Sie sich zunächst, zu welchen Polynomen

[t_{0}, ..., t_{1}] f, i = 0, ..., n

bzw.

[t_{i}, ..., t_{n}] g, i = 0, ..., n

die Newton-Darstellung liefern.)

Lösung: kommt noch ;-)

LG Molly

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Molly23

14:51 Uhr, 13.01.2013

Lösung zu Aufgabe 3:

Die Polynome

\sum_{i = 0}^{n} f [t_{0}, ..., t_{i}] (t - t_{0}) ... (t - t_{i - 1}), \sum_{s = 0}^{n} g [t_{s}, ..., t_{n}] (t - t_{s + 1}) ... (t - t_{n})

interpolieren die Funktionen

f

und

g

an den Stellen

t = t_{0}, ..., t_{n}

. Also interpoliert auch das Produktpolynom

P (t) := \sum_{i = 0}^{n} f [t_{0}, ..., t_{i}] (t - t_{0}) ... (t - t_{i - 1}) \cdot \sum_{s = 0}^{n} g [t_{s}, ..., t_{n}] (t - t_{s + 1}) ... (t - t_{n})

für

t = t_{0}, ..., t_{n}

die Funktion

f g (t)

. Nun lässt sich aber dieses Produkt als Summe zweier Polynome in

t

schreiben

P (t) = \sum_{i, s = 0}^{n} ... = \sum_{i \leq s} ... + \sum_{i > s} . .

= P_{1} (t) + P_{2} (t),

wobei jeder Term der zweiten Summe

\sum_{i > s} . .

. das Polynom

\prod_{j = 0}^{n} (t - t_{j})

als Faktor enthält, so dass

P_{2} (t)

die 0-Funktion für

t = t_{0}, ..., t_{n}

interpoliert. Daher interpoliert auch das Polynom

P_{1} (t)

die Funktion

f g (t)

für

t = t_{0}, ..., t_{n},

so dass

P_{1} (t)

die eindeutig bestimmte Interpolierende von

f g

ist.

P_{1}

besitzt den höchsten Koeffizienten fg

[t_{0}, ..., t_{n}]

. Ein Vergleich der Koeffizienten von

t

in der Summendarstellung

P_{1} (t) = \sum_{i \leq s} . .

. von

P_{1} (t)

liefert die gewünschte Formel

[t_{0}, ..., t_{n}] (f g) = \sum_{i = 0}^{n} [t_{0}, ..., t_{i}] f \cdot [t_{i}, ..., t_{n}] g

Molly23

09:12 Uhr, 14.01.2013

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