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Skalarprodukt / Flächeninhalt von Parallelogramm

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Parallelogramm, Skalarprodukt

horst21 aktiv_icon

01:56 Uhr, 17.10.2012

Hallo zusammen,

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen und komme beim besten Willen nicht weiter.
(Vektoren liegen schon etwas zurück.)

Aufgabe:

- - - - - - - - - - - - - -

Die Vektoren a und

b

haben die Länge

| a | = | b | = 2

und schliessen den Winkel

Φ =

28.6° ein.

Gesucht ist der Flächeninhalt A des Parallelogramms, das durch die Vektoren

[u = 3 \cdot a + 3 \cdot b]

und

[v = - 9 \cdot a + 7 \cdot b]

aufgespannt wird.

A =

a, b, u, v =

Vektor

| a |, | b | =

Länge/Betrag

Φ =

Winkel

- - - - - - - - - - - - - -

Vielen Dank für eure Hilfe!

Gruss,
Horst

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalte
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Skalarprodukt

Light Yagami aktiv_icon

03:26 Uhr, 17.10.2012

Hallo Horst,
um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen, haben wir das Vektorprodukt angewandt:

A = ∣ \vec{a} \times \vec{b} ∣

horst21 aktiv_icon

13:15 Uhr, 17.10.2012

Danke für deine Antwort.

Ein Kumpel hat mir heute morgen auch diese Formel geschickt, ergänzend dazu noch gleichgesetzt mit

| a | \cdot | b | \cdot sin (Φ) = | a \times b |

.

Da das Parallelogram zwischen

u

und

v

aufgespannt wird, müsste ich ja folgendes rechnen;

| u \times v | = A

bzw.

| u | \cdot | v | \cdot sin (Φ) = A

Doch wie stelle ich die Vektoren bzw. die Länge von

u

und

v

mittels a und

b

dar?

Gruss,
Horst

horst21 aktiv_icon

20:16 Uhr, 17.10.2012

Ich bin leider noch nicht weiter gekommen;

Muss man die Vektoren

a, b

berechnen, um auf das Resultat zu kommen? Wie stelle ich das an?
->(Es sind ja nur die Beträge bekannt, ein Gleichungssystem kann ich nicht bilden, da es 4 Unbekannte wären ax, ay und bx, by)

Falls dies nicht nötig ist, wie berechne ich das Kreuzprodukt aus

u, v

mittels

a, b

\to |

(−9⋅a+7⋅b)

\times

(3⋅a+3⋅b)

| =

?

Danke, Gruss
Horst

horst21 aktiv_icon

21:25 Uhr, 17.10.2012

Hallo Leute,

Hab's jetzt wie folgt gelöst:
(Wahrscheinlich nicht die sauberste Methode, schnellere Methoden sind trotzdem noch sehr, sehr, sehr, sehr erwünscht!)

Annahme:

a = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

\to b = (\begin{matrix} 2 \cdot cos (28.6) \\ 2 \cdot sin (28.6) \end{matrix})

u = (\begin{matrix} 6 + 6 \cdot cos (28.6) \\ 6 \cdot sin (28.6) \end{matrix})

v = (\begin{matrix} - 18 + 14 \cdot cos (28.6) \\ 14 \cdot sin (28.6) \end{matrix})

\to | u | = 11.62818878

\to | v | = 8.803214208

α

(Zwischenwinkel

u, v) =

arccos

(\frac{u \cdot v}{| u | \cdot | v |}) = 116.1230798

(GRAD)

A = | u | \cdot | v | \cdot sin (116.1231) = 91.90883672

PS:
Kann das jemand nachrechnen? Ich bin mir doch nicht ganz sicher!

Gruss und Danke,
Horst

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