Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Skalarprodukt und Spur einer Matrix

Skalarprodukt und Spur einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Skalarprodukte

Tags: Matrizenrechnung, Skalarprodukt

ralph123 aktiv_icon

15:50 Uhr, 28.01.2021

Hallo, gegeben ist der Vektorraum V =

ℝ^{N x N}

, und die Matrix A

\in ℝ^{N x N}

.
Jetzt muss man zeigen, dass durch

〈

A,B

〉

= Spur(

A^{T}

B) ein Skalarprodukt auf V definiert ist.
Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

michaL aktiv_icon

17:03 Uhr, 28.01.2021

Hallo,

Mathematik ist zu Beginn nicht schwierig, in dem Sinne, dass man nicht kreativ werden muss.
Hier geht es darum, die Axiome für "Skalarprodukt" aufzuzählen. (1.)
Die sind üblicherweise abstrakt formuliert. Sie müssen so umgeschrieben werden, dass sie genau auf die vorliegende Situation passen. (2.)
Daraus ergeben sich mathematische Aussagen, meist Gleichungen, deren Wahrheitsgehalt nachgewiesen werden muss. (3.)

So geht man bei diesen Aufgaben vor.

Beginnen wir mit 1.: Welche Axiome definieren ein Skalarprodukt?

Mfg Michael

ralph123 aktiv_icon

17:22 Uhr, 28.01.2021

Man hat die Linearität in der ersten Komponente, also wenn A =

λ C + ω D

, dann wäre es doch

〈 λ C + ω D, B 〉

λ 〈 C, B 〉 + ω 〈 D, B 〉

Dann die Symmetrie, also

〈 A, B 〉 = 〈 B, A 〉

und noch die positive Definitheit

〈 A, A 〉 \geq 0

Zu 1. hätte man dann

λ

Spur(

C^{T} B) + ω

Spur(

D^{T} B)

hier komme ich nicht weiter

Z 2. wäre es

〈 B, A 〉 = S p u r (B^{T} A) = S p u r (A^{T} B)

(reichts das so?)

Zu 3.

〈 A, A 〉 = S p u r (A^{T} A) = \sum_{n = 0}^{N} a_{n n}^{2} \geq 0

Ich hab es mal probiert

ralph123 aktiv_icon

17:37 Uhr, 28.01.2021

Zur Symmetrie hätte ich vielleicht,

〈 B, A 〉 = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} (b_{j i}^{T} * a_{j i}) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} (a_{j i} * b_{j i}^{T}) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} (a_{i j}^{T} * b_{i j}) = S p u r (A^{T} B) = 〈 A, B 〉

ralph123 aktiv_icon

19:23 Uhr, 28.01.2021

Zu 1. hätte ich jetzt noch

〈 λ C + ω D, B 〉 = S p u r ((λ C + ω D)^{T} * B) = S p u r ((λ C^{T} + ω D^{T}) * B) = S p u r (λ C^{T} * B + ω D^{T} * B)

= S p u r (λ C^{T} * B) + S p u r (ω D^{T} * B) = λ S p u r (C^{T} * B) + ω S p u r (D^{T} * B)

λ 〈 C, B 〉 + ω 〈 D, B 〉

Ich hoffe mal das das richtig ist

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1528373

1528341

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?