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Skalarprodukt und winkel von 4D Vektoren

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt

SinaAnna aktiv_icon

23:12 Uhr, 25.01.2016

hallo,

wenn ich das skalarprodukt von

\vec{a}

und

\vec{b}

bilde gilt ja

\vec{a} \cdot \vec{b} = | a | | b | cos (α)

was ich auch ganz gut nachvollziehen kann... das lässt sich ja recht gut geometrisch nachvollziehen (mit dreieck aufmalen und so....). aber geht das eben nur, wenn ich vektoren im dreidimensionalen raum betrachte. wenn aber

\vec{a}

und

\vec{b}

vierdimensional sind, kann ich das nicht mehr nachvollziehen (kann man nicht mehr aufmalen), aber gilt diese formel immer noch. kann mir jemand verständlich machen wie die mathematiker nachweisen, dass das auch für höher dimensionale räume gilt?

dankeschön

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

23:24 Uhr, 25.01.2016

Hallo
2 Vektoren liegen immer (wenn nicht kolinear) in einem

2 - d

Unterraum, auch der Winkel zw

23 d

Vektoren wird ja in der Ebene gemessen

,

in der sie liegen, also musst du dir nur einen

2 d

UR des

ℝ^{4}

vorstellen.
Gruß ledum

SinaAnna aktiv_icon

14:27 Uhr, 26.01.2016

dankeschön... das ist sehr einleuchtend.

ich hab mir aber mal die definitionen vom skalarprodukt bei wiki genauer angeguckt und ich glaube mein problem ist etwas tiefergehender

ich mach mal das folgende am

4 D

um schreibarbeit zu sparen

1. auf de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt#Definition wird das skalarprodukt definiert als

\vec{x} \cdot \vec{y} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3} + x_{4} y_{4}

2. weiter unten de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt#Winkel wird aber das skalarprodukt definiert als

cos (φ) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{| \vec{x} | | \vec{y} |}

das verstehe ich nicht... entweder man definiert 1. und muss dann 2. folgern?? oder andersrum... man kann doch nicht einfach alles so zusammendefinieren wie man möchte oder? und wie entscheidet der mathematiker wie rum er es dann macht? also 1. definieren und 2. folgern oder andersrum?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

denn für

2 D,3 D

verstehe ich das.

1. hier de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt wird das skalarprodukt zunächst definiert als

\vec{x} \cdot \vec{y} = | \vec{x} | | \vec{y} | cos (φ)

2. und dann wird geometrisch gefolgert (im kartesischen), dass

\vec{x} \cdot \vec{y} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3}

ist. siehe dazu weiter unten de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#In_kartesischen_Koordinaten

aber bei

4 D

wird das einfach beschlossen?? das muss man doch nachweisen oder nicht?

hoffe einigermassen rübergebracht zu haben was mein problem ist. aber solche probleme hab ich glaub ich öfter... nicht nur beim skalarprodukt... da ist einfach nicht ersichtlich, was definiert werden muss und was gefolgert. was denken die mathematiker da bloss?

DrBoogie aktiv_icon

16:04 Uhr, 26.01.2016

"2das verstehe ich nicht... entweder man definiert 1. und muss dann 2. folgern?? oder andersrum... man kann doch nicht einfach alles so zusammendefinieren wie man möchte oder"

Du meinst, dass man beweisen muss, dass so definierter Winkel tatsächlich ein Winkel ist? Nun, es ist eine interessante Frage, was ist denn ein Winkel im 4-dimensionalen Raum, aus geometrischen Sicht. Kannst Du das definieren?

SinaAnna aktiv_icon

16:15 Uhr, 26.01.2016

ich dreh durch xD

d . h

. im dreidimensionalen ist über die geometrie bereits festgelegt wie die winkelzusammenhänge sind

\to

daher eine folgerung von dem einen zum anderen

im vierdimensionalen haben wir noch keine winkel und können selber bestimmen wie der aussieht? daher einfach festlegen wie...? woran macht der mathematiker dann fest, wie er es festlegt... er könnte ja dann auch eine ganz andere formel wählen? liegt das daran, dass er hier ein ähnliches verhalten wie im dreidimensionalen "zusammenbauen" möchte?

DrBoogie aktiv_icon

16:56 Uhr, 26.01.2016

Ehrlich gesagt, weiß ich überhaupt nicht, wozu man einen Winkel im 4-dimensionalen Raum brauchen kann. Für mich gibt's nur dort Winkel, wo man sie mit einem Instrument messen kann. :-)
Aber wenn schon, dann warum nicht die Formel nehmen, die schon existiert und in niedrigeren Dimensionen richtig ist? Das nennt man Abstraktion bzw. Verallgemeinerung und ist ziemlich typisch für Mathematik. Man verallgemeinert reell existierende 3-dimensionale Vektoren auf den 4-dimensionalen Fall und mit ihnen auch die Winkel. In der realen Welt existieren weder 4-dimensionale Vektoren noch 4-dimensionale Winkel, also, was spricht dagegen?

SinaAnna aktiv_icon

18:10 Uhr, 26.01.2016

hoffe das es nicht zu viel verlangt ist... aber ich versuche gerade www.3dgep.com/understanding-quaternions/#Quaternion_Dot_Product zu verstehen. und da baut das eben darauf auf, dass da dieser winkel ist. letztendlich will man mit den quaternionen ja eine orientierung angeben... sprich letztendlich muss das zum schluss wieder ins 3Dimensionale degenerieren.

wenn ich jetzt dort mittendrin mir einen winkel "nach belieben" definiere, kann doch nur mist rauskommen bzw. wäre für mich quaternione schwarze magie ;-) weil ich mit einer beliebigen winkel definition plötzlich richtige orientierungen ausrechne?!?!?

"Ehrlich gesagt, weiß ich überhaupt nicht, wozu man einen Winkel im 4-dimensionalen Raum brauchen kann. Für mich gibt's nur dort Winkel, wo man sie mit einem Instrument messen kann. :-)"

deshalb find ich mathematik echt manchmal zu abgehoben und komisch ;-)

DrBoogie aktiv_icon

19:04 Uhr, 26.01.2016

Nun, sorry, aber so einen langen Text, dazu auf English, werde ich natürlich nicht lesen.

"und da baut das eben darauf auf, dass da dieser winkel ist."

Wo genau wird da benutzt, dass es ein Winkel ist?

"letztendlich will man mit den quaternionen ja eine orientierung angeben... sprich letztendlich muss das zum schluss wieder ins 3Dimensionale degenerieren."

Wo wird "ins 3Dimensionale degeneriert"?

"wenn ich jetzt dort mittendrin mir einen winkel "nach belieben" definiere"

Und warum sollst Du einen Winkel "nach belieben" definieren? :-O
Irgendwie verstehe ich Deine Probleme nicht. Siehst Du irgendwo einen Widerspruch in der Herleitung? Wenn nicht, dann ist doch alles OK. So funktioniert doch Mathe: es werden abstrakte Objekte definiert und dann ihre Eigenschaften hergeleitet. Sich diese Objekte vorstellen zu wollen ist löblich, aber nicht immer realistisch.

4

-dimensionale Vektoren sind ein Kinderspiel, aber wenn Du mit den Invarianten der Morphismen auf Bündeln von Mannigfaltigkeiten über p-adischen Körpern zu tun hättest, würdest Du sie Dich auch vorstellen wollen? :-)

"deshalb find ich mathematik echt manchmal zu abgehoben und komisch"

Doch, Mathe ist schön, gerade dann besonders, wenn sie mit der Welt nicht zu tun hat. Denn die Welt ist hässlich, dreckig und unangenehm. Mathe dagegen göttlich. :-)

SinaAnna aktiv_icon

22:56 Uhr, 26.01.2016

ja... das "So funktioniert doch Mathe: es werden abstrakte Objekte definiert und dann ihre Eigenschaften hergeleitet." ist es wohl, wo es bei mir schwierigkeiten gibt. aber es kommt so langsam denke ich. dann werd ich erstmal weiter lesen im stoff.

vielen vielen dank führ die kommentare

lg

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