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Skalarprodukt zeigen

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Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt

Eleonora71 aktiv_icon

13:44 Uhr, 25.03.2015

Hello.

Es sei

n \in ℕ

und

G

eine

n \times n -

Matrix reeller Zahlen mit

G = G^{t r}

(Symmetrie) und

{\vec{v}}^{t r} \cdot G \cdot \vec{v} > 0

für alle

\vec{v} \in R^{n} \ {\vec{0}}

(positive Definitheit). Zeigen Sie, dass durch

< \vec{x}, \vec{y} > := g (\vec{x}, \vec{y}) := {\vec{x}}^{t r} \cdot G \cdot \vec{y}

(\vec{x}, \vec{y} \in R^{n})

ein Skalarprodukt mit

g ({\vec{e}}_{k}, {\vec{e}}_{l}) = g_{k, l}

für

k, l \in {1, ..., n}

definiert wird! Für welche spezielle Wahl von

G

ergibt sich das euklidische Skalarprodukt?

Also wir haben das Skalarprodukt in der Vorlesung wie folgt definiert:

Es sei

V

ein Vektorraum mit Skalarbereich

K (z . B

K = ℝ

oder

K = ℂ)

. Jede Funktion

g : V \times V \to ℝ

die bilinear ist mit den Eigenschaften

g (a, b) = g (b, a)

für

a, b \in V

("g ist eine symmetrische Bilinearform)

Für

a \in V \ {0}

soll gelten

g (a, a) = (0 | \infty)

("g ist positiv definit")

Dann heißt

g

ein reelles Skalarprodukt für

V

und bietet durch

{| | a | |}_{g :=} \sqrt{g (a, a)}

einer Betrags- bzw. Normbildung.

Ich muss quasi die zwei Sachen zeigen, dass es eine symmetrische Bilinearform ist und positiv definit ist. Ich weiß aber leider ganz und gar nicht woraus

: (

Bemerkung: Man nennt

G

auch die Gram'sche Matrix des Skalarproduktes

g

bzgl. der Standardbasis

{\vec{e}}_{1}, . .

{\vec{e}}_{n}

.

LG

Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

PhantomV aktiv_icon

22:27 Uhr, 25.03.2015

Hi Eleonora.

Als erstes ist zu zeigen dass

g

bilinear ist. Es muss also gelten

g (λ \cdot x + μ \cdot y, z) = λ \cdot g (x, z) + μ \cdot g (y, z)

. Prüfe das anhand der Definition von

g

nach. Analog in der zweiten Variablen.
Bei der Symmetrie nutze dass

A^{T} = A

nach Voraussetzung gilt.
Pos. Definitheit dürfte klar sein, da nach Vor.

v^{T} \cdot G \cdot v > 0

für

v \neq 0

.
Wann ergibt sich das euklidische SKP? Da schaust du am besten nochmal nach wie das eukl. SKP def. war, falls du es nicht mehr weißt (Tipp: Die Matrix hat eine sehr einfache Gestalt).

Gruß PhantomV

Eleonora71 aktiv_icon

12:01 Uhr, 26.03.2015

Also nochmal aufgegriffen. Ich habe mein Skalarprodukt wie folgt definiert:

< \vec{x}, \vec{y} > := g (\vec{x}, \vec{y}) := {\vec{x}}^{t r} \cdot G \cdot \vec{y}

Ich soll die Bilinearität zeigen, also:

g (λ \cdot x + μ \cdot y, z) = λ \cdot g (x, y) + μ \cdot g (y, z)

Ich soll die Symmetrie ausnutzen

A^{T} = A

und positive Definitheit sollte klar sein, naja.

Nun das euklidische Skalarprodukt ist einfach für

\vec{a}, \vec{b} \in R^{n}

def.

g_{e} : R^{n} \times R^{n} \to ℝ

durch

\vec{a} \cdot \vec{b} := g (\vec{a}, \vec{b}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + ... + a_{n} \cdot b_{n} \in ℝ

für

\vec{a}, \vec{b} \in R^{n}

Aber die Aufgabe bekomme ich leider nicht hin, ich weiß nicht wie ich's umsetzen soll

: (

LG

Elena

PhantomV aktiv_icon

20:35 Uhr, 26.03.2015

Ja Bilinearität soll gezeigt werden. Nutzt du die Def. von

g,

folgt:

g (λ \cdot x + μ \cdot y, z) = {(λ \cdot x + μ \cdot y)}^{T} \cdot A \cdot z = (λ \cdot x^{T} + μ \cdot y^{T}) \cdot A \cdot z =

λ \cdot x^{T} \cdot A \cdot z + μ \cdot y^{T} \cdot A \cdot z = λ \cdot g (x, z) + μ \cdot g (y, z)

Das musst du nun auch für die zweite Variable zeigen (geht analog).

Symmetrie:
Es gilt

g (x, y) = {g (x, y)}^{T},

g (x, y) \in

IR und

A^{T} = A

nach Vor., also

g (x, y) = {g (x, y)}^{T} = {(x^{T} \cdot A \cdot y)}^{T} = y^{T} \cdot A^{T} \cdot {(x^{T})}^{T} = y^{T} \cdot A \cdot x = g (y, x)

Pos. Def. folgt aus der pos. Def. von A.

Zum eukl. SKP: Was passiert wenn du

A = E_{n}

(dies ist die

n \times n

Einheitsmatrix) setzt?

Eleonora71 aktiv_icon

09:56 Uhr, 27.03.2015

Hm,danke sehr!

"Zum eukl. SKP: Was passiert wenn du

A = E_{n}

(dies ist die n×n Einheitsmatrix) setzt?"

Was passiert wenn ich A gleich der Einheitsmatrix setze? Hm.

Was genau ist denn A? Was verbirgt sich dahinter?

A^{T}

ist die transponierte von

A,

das ist mir klar, aber ich habe keinen Schimmer was dahinter sich verbirgt

: (

Elena

ledum aktiv_icon

00:04 Uhr, 28.03.2015

Hallo
das A ist dein

G

Gruss ledum

ledum aktiv_icon

00:04 Uhr, 28.03.2015

Hallo
das A ist dein

G

Gruss ledum

PhantomV aktiv_icon

18:08 Uhr, 28.03.2015

Richtig. Hab die Matrix hier mit A bezeichnet (aus Gewohnheit), denk dir einfach ein

G

hin.

Gruß PhantomV

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