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Skalarprodukte mit Matrizen

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Matrizenrechnung

Skalarprodukte

Tags: Matrizenrechnung, Skalarprodukt

Blackparrot aktiv_icon

15:55 Uhr, 06.06.2017

Hallo zusammen!

Ich habe den

ℝ^{m}

und den

ℝ^{n},

jeweils mit den Standardskalarprodukten

{(x \cdot y)}_{m} = \sum_{k = 1}^{m} x_{k} \cdot y_{k}

und

{(x \cdot y)}_{n} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \cdot y_{k},

und eine Matrix A aus

ℝ^{n x m}

.
Jetzt möchte ich zeigen, dass es zu jeder Matrix A eine Matrix

B

aus

ℝ^{m x n}

gibt, sodass für alle

x

aus

ℝ^{m}

und

y

aus

ℝ^{n}

folgendes gilt:

(Ax

\cdot y)_{n} = (x \cdot

By)_m

Meine Idee:

Ax kann ich schreiben als Vektor

(\sum_{i = 1}^{m}

a_ji

\cdot x_{i})^{T}, j =

1,2…n

Also ist (Ax

\cdot y)_{n} = \sum_{i = 1}^{m} a_{1 i} \cdot x_{i} \cdot y_{1} + \sum_{i = 1}^{m} a_{2 i} \cdot x_{i} \cdot y_{2} +

…

+ \sum_{i = 1}^{m}

a_ni

\cdot x_{i} \cdot y_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m}

a_ki

\cdot x_{i} \cdot y_{k}

Analog dazu:

(x \cdot

By)_m

= \sum_{k = 1}^{m} \sum_{i = 1}^{n}

b_ki

\cdot y_{i} \cdot x_{k}

Da das alles endliche Summen sind, kann ich die Summen vertauschen:

\sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m}

a_ki

\cdot x_{i} \cdot y_{k} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{m}

b_ki

\cdot y_{i} \cdot x_{k}

Durch Vergleich beider Seiten ergibt sich: a_ki

\cdot x_{i} \cdot y_{k} =

b_ki

\cdot y_{i} \cdot x_{k}

Und daraus: b_ki = a_ki

\cdot \frac{x_{i}}{x_{k}} \cdot \frac{y_{k}}{y_{i}}

Und damit hätte ich ja eigentlich eine Bestimmungsgleichung für die Matrixelemente von B.

Ist meine Argumentation richtig? Oder habe ich einen Fehler gemacht? Ich bin mir hierbei leider ziemlich unsicher…
Vielleicht kann sich jemand das kurz mal anschauen ;-)

Vielen Dank und viele Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

16:17 Uhr, 06.06.2017

"Und damit hätte ich ja eigentlich eine Bestimmungsgleichung für die Matrixelemente von B."

Nein.
In der Bestimmungsgleichung dürfen weder

x

noch

y

vorkommen.

Und die Antwort ist viel einfacher:

B

ist einfach die Transponierte von

A

Blackparrot aktiv_icon

16:41 Uhr, 06.06.2017

Hallo DrBoogie,

vielen Dank für Deine schnelle Begutachtung! Ja, das hätte ich sehen müssen, es muss selbstverständlich für beliebige

x

und

y

gelten...

Darf ich fragen, wie man darauf kommt, dass

B

die transponierte Matrix von A ist (bzw. wie man das in einer Rechnung sieht/zeigen kann)? Ich versuche, mir den Zusammenhang auf einem Blatt verständlich zu machen, aber leider will mir dies nicht gelingen.

DrBoogie aktiv_icon

16:52 Uhr, 06.06.2017

Ich weiß es einfach, da reicht mir schon die Formel

A x \cdot y = x \cdot B y

.

Aber man kann auch direkt darauf kommen, und zwar genau auf dem Wege, wie Du es gemacht hast. Du warst halt nicht aufmerksam genug dabei.

So:

A x = (\sum_{i = 1}^{m} a_{1 i} x_{i}, . . ., \sum_{i = 1}^{m} a_{n i} x_{i})

A x \cdot y = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} a_{k i} x_{i} y_{k}

B y = (\sum_{k = 1}^{n} b_{1 k} y_{k}, . . ., \sum_{k = 1}^{n} b_{n k} y_{k})

x \cdot B y = \sum_{i = 1}^{m} x_{i} \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} y_{k}

.

Und jetzt der Vergleich:

A x \cdot y = x \cdot B y

\sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} a_{k i} x_{i} y_{k} = \sum_{i = 1}^{m} x_{i} \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} y_{k}

=>

=>

\sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} a_{k i} x_{i} y_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} b_{i k} x_{i} y_{k}

.
Und da

x, y

beliebig sind, muss

a_{k i} = b_{i k}

gelten. Das bedeutet aber

B = A^{T}

Blackparrot aktiv_icon

17:22 Uhr, 06.06.2017

Jetzt ist es mir klar, vielen Dank für diese hilfreiche Rechnung!
Nun sehe ich auch, warum ich den Zusammenhang zwischen der Matrix und der Transponierten bei meiner Rechnung nicht hinbekommen habe: Ich habe die Indizes

k

und

i

bei den Summen jeweils anders herum benannt/verwechselt, sodass ich a_ki und b_ki in der Gleichung stehen hatte...
Jetzt aber passt das ja wunderbar.

Danke nochmals und einen schönen Abend!

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