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Skizzieren von Mengen der komplexen Zahlenebene

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Betrag, Komplexe Zahlen, Komplexe Zahlenebene, mengen, skizzieren, Ungleichung

Mai05 aktiv_icon

12:13 Uhr, 04.12.2020

Hallo, ich muss folgende Menge skizzieren, weiß aber nicht, wie ich da rangehen muss.

M = {z

€

C | | z + 2 i | + | z + 4 i | \geq 10

Muss ich da erst die Beträge ausrechnen? Es würde ja dann

z . B

. für

| z + 2 i |

z + 2

und

z - 2

rauskommen, aber wie soll ich das einzeichnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

12:47 Uhr, 04.12.2020

"Muss ich da erst die Beträge ausrechnen? Es würde ja dann

z . B

. für

| z + 2 i |

z + 2

und z−2 rauskommen, aber wie soll ich das einzeichnen?"

Nein, das ist nicht richtig !

Respon

12:57 Uhr, 04.12.2020

Hinweise:

Beträge sind "Abstände".
Betrachte vorerst mal

| z + 2 \cdot i | + | z + 4 \cdot i | = 10

Und jetzt krame in deiner Erinnerung.
Die Summe zweier Abstände von jeweils zwei festen Punkten ist konstant ( hier also

10)

.
Was könnte das sein ?

ELLIPSE !
Du suchst also alle Punkte in der komplexen Ebene die außerhalb einer Ellipse ( einschließlich der Ellipsenlinie ) liegen.
Du kennst die Koordinaten der Brennpunkte

(0 | - 2)

und

(0 | - 4)

und durch die Angabe

10

auch die Länge einer Achse.
Damit ist die Ellipse eindeutig gegeben.

Das sieht dann ungefähr so aus:

Mai05 aktiv_icon

13:18 Uhr, 04.12.2020

Ich verstehe was du meinst, aber nicht, wie ich das

i

in diese Überlegung mit einbeziehen soll...

Respon

13:25 Uhr, 04.12.2020

Versuchen wir das beim ersten Betrag.

| z + 2 \cdot i |

Setzen wir

z = x + i \cdot y

| x + i \cdot y + 2 \cdot i | = | x + i \cdot (y + 2) | = \sqrt{x^{2} + {(y + 2)}^{2}}

Der Term unter der Wurzel sollte dir bekannt vorkommen. Er ist Teil einer Kreisgleichung.
Frage nun : Welche Koordinaten hat der Mittelpunkt dieses Kreises ?

Mai05 aktiv_icon

14:00 Uhr, 04.12.2020

Wenn die Gleichung so aussieht, hat der Kreis ja den Mittelpunkt

(0, - 2)

Aber kurz davor hattest Du geschrieben, dass es eine Ellipse sei. Mit Kreisgleichungen kann ich was anfangen, aber Ellipsen haben wir nie behandelt

Außerdem ist das jetzt ja nur der "vordere" Teil, muss ich für

| z - 4 i |

auch auf die gleiche Weise den Mittelpunkt berechnen?

Falls ja: Wie bringe ich die beiden "Einzelteile" und das

\geq 10

in einer Skizze zusammen?

Respon

14:08 Uhr, 04.12.2020

Deswegen mein einleitender Satz : "Versuchen wir das beim ersten Betrag."

| z + 2 \cdot i |

stellt also den Abstand eines "

z

" von

(0 | - 2)

dar

Analog

| z + 4 \cdot i |

stellt also den Abstand eines "

z

" von

(0 | - 4)

dar

Die linke Seite der Ungleichung läßt sich also so interpretieren:
Sie Summe der Abstände eines "z" von

(0 | - 2)

respektive

(0 | - 4)

.
Diese Summe soll

10

oder größer sein.

\Rightarrow

Ellipse mit den schon oben geschrieben Größen.

Das Beispiel erfordert eigentlich keine "Rechnung" sondern nur die Anwendung von gesichertem Basiswissen.

Zusammengefasst :
Mittelpunkt der Ellipse

M (0 | - 3)

Brennpunkte

F_{1} (0 | - 4)

und

F_{2} (0 | - 2)

Hauptscheitel

A (0 | - 8)

und

B (0 | 2)

Große Halbachse 5
Die Ellipse ist "hochkant".

Damit wäre das Beispiel eigentlich gelöst. Wenn es noch Fragen gibt, dann kannst du dich ja später wieder melden.

Mai05 aktiv_icon

16:33 Uhr, 04.12.2020

Ich habe die Ellipse jetzt mal frei Hand gezeichnet.
Wird dadurch dieses

\geq 10

deutlich?

Falls ja habe ich nur zum Verständnis noch die Frage, wie ich das dann zeichnen müsste, wenn da

\leq 10

stehen würde.

Respon

16:42 Uhr, 04.12.2020

Der gesuchte Bereich ist bei

\geq 10

außerhalb der Ellipse ( wobei die Ellipsenlinie eingeschlossen wird

),

Analog dazu ist es bei

\leq 10

der Bereich innerhalb der Ellipse ( wieder einschließlich der Ellipsenlinie ).

Mai05 aktiv_icon

16:46 Uhr, 04.12.2020

Muss ich dann irgendwie die Fläche außerhalb der Ellipse markieren oder das einfach daneben schreiben?

Respon

16:55 Uhr, 04.12.2020

Markieren wäre besser, so wie mein posting

12 : 57

.
Oder du formulierst es verbal.

Mai05 aktiv_icon

17:21 Uhr, 04.12.2020

Vielen Dank!

Leider muss ich noch etwas skizzieren, was ich nicht verstehe:
z€C

{| z - 2 i |}^{2} <

Re(2z+3)

Also genauer gesagt würde ich erstmal den linken Teil ausrechnen, das ist ja

z^{2} + 4

Aber was ist mit Re(2z+3) gemeint? (Also ich weiß, dass Re der Realteil ist und bei x+iy das

x

wäre, aber ich kann das nicht auf diese Schreibweise anwenden)

Außerdem muss ich noch folgende Menge zeichnen:

z€C | Re

z <

z \leq 2

z

∧ −2

\leq

Rez

< 3

Und damit kann ich gar nichts anfangen...

Respon

17:28 Uhr, 04.12.2020

Leider nein !
Setze wieder

z = x + i \cdot y

| z - 2 \cdot i | = | x + i \cdot y - 2 \cdot i | = | x + i \cdot (y - 2) |

Wie lautet nun der Betrag ?

HAL9000

17:35 Uhr, 04.12.2020

@Mai05

Mal schreibst du

∣ z + 4 i ∣

und dann wieder

∣ z - 4 i ∣

, welches von beiden stimmt denn nun?

∣ z + 2 i ∣ + ∣ z - 4 i ∣ = 10

hätte den Charme, dass BEIDE Halbachsen der Ellipse ganze Zahlen sind - und Aufgabensteller haben ja da ein ganz besonderes Faible für sowas...

Respon

17:42 Uhr, 04.12.2020

Also:
Der Betrag wäre

\sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}}

Du brauchst das Quadrat davon

\Rightarrow x^{2} + {(y - 2)}^{2}

Spätesten jetzt sollte es knistern ( Kreis

!)

Rechte Seite

R e (2 \cdot (x + i \cdot y) + 3) = R e (2 \cdot x + 3 + i \cdot y) = 2 \cdot x + 3

Also

R e (. .

) = 2 \cdot x + 3

\Rightarrow

x^{2} + {(y - 2)}^{2} < 2 \cdot x + 3

\Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} < 2^{2}

. .

. uns etwas Ähnliches hatten wir ja schon.

Mai05 aktiv_icon

17:48 Uhr, 04.12.2020

Es war

- 4,

aber kann ich das nicht einfach analog zu

+ 4

anwenden?

Mai05 aktiv_icon

17:57 Uhr, 04.12.2020

Ich bin mir nicht sicher, wie ich den Betrag errechne, also wie ich mit dem hinteren Teil umgehen muss.
Ich habe das jetzt so gemacht, dass am Ende (nach Auflösen der Wurzel

x + y - 2

rauskommt.

Wenn das überhaupt richtig sein sollte, habe ich ja das Quadrat noch nicht verarbeitet. Muss ich jetzt einfach das Ergebnis quadrieren?

Mai05 aktiv_icon

18:13 Uhr, 04.12.2020

Ich verstehe jetzt, dass es ein Kreis wird, der kleiner als ein gewisser Radius ist. Auch fast alle Schritte bis dahin sind klar, aber wie komme ich von

x^{2} + {(y - 2)}^{2} < 2 x + 3

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} < 2^{2}

?

Und nochmal zu der anderen Aufgabe:
Re

z <

z \leq 2

z & - 2 \leq

z < 3

muss ich jetzt für jedes

z

schreiben: z=x+iy?

Ist das dann "nur"
Re

z = x

und Im

z = y

mit

x < y

und

2 x < y

x < y \leq 2 x & - 2 \leq x < 3

Dann muss doch theoretisch

x = 2

und

y = 3

sein, somit

z = 2 + 3 i

?
Wenn die Überlegung stimmen sollte, weiß ich auch, wie ich es zeichnen muss

Respon

19:44 Uhr, 04.12.2020

Zu deiner Frage um

18 : 13

x^{2} + {(y - 2)}^{2} < 2 \cdot x + 3 | - 2 \cdot x

Quadratische Ergänzung

x^{2} - 2 \cdot x + {(y - 2)}^{2} < 3

| + 1

x^{2} - 2 \cdot x + 1 + {(y - 2)}^{2} < 3 + 1

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} < 2^{2}

( Und schau dir nochmals an, wie man den Betrag einer komplexen Zahl berechnet. )

R e (z) < I m (z) \leq 2 \cdot R e (z)

\land

- 2 \leq R e (z) < 3

z = x + i \cdot y

R e (z) = x

m (z) = y

\Rightarrow

x < y \leq 2 \cdot x

\land

- 2 \leq x < 3

Daraus ergeben sich folgende Ungleichungen

y > x

y \leq 2 \cdot x

x \geq - 2

x < 3

Trage vorerst in das Koordinatensystem die Graphen folgender Gleichungen ein:

y = x

y = 2 \cdot x

x = - 2

x = 3

Suche nun die Überlappung folgender Bereiche:

y > x

Der Bereich OBERHALB der Geraden

y = x (

ohne Gerade )

y \leq 2 \cdot x

Der Bereich UNTERHALB der Geraden

y = 2 \cdot x (

einschließlich der Geraden )

x \geq - 2

Der Bereich RECHTS der Geraden

x = - 2 (

einschließlich der Geraden )

x < 3

Der Bereich LINKS der Geraden

x = 3 (

ohne Gerade )

\to

"Dann muss doch theoretisch

x = 2

und

y = 3

sein, somit z=2+3i?"
Du hast es hier mit UNGLEICHUNGEN zu tun, daher ergeben sich Bereiche bzw. Intervalle und keine konkreten Zahlen.

Mai05 aktiv_icon

17:25 Uhr, 05.12.2020

Dankeschön für die Hilfe! :-)

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