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Sparbetrag bei variablen Zinsen berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Sparbetrag, Zinsrechnung

Seb87 aktiv_icon

19:22 Uhr, 30.10.2018

Guten Abend zusammen,

ich suche eine Formel um Rückwärtsrechnungen bei Sparprodukten vornehmen zu können. Die gesuchte Variable ist in diesem Fall der Sparbetrag

E,

welcher beispielsweise mtl. in ein Produkt eingezahlt wird. Geht man von einem über die gesamte Laufzeit

n

konstanten Zinssatz

q

und Sparbetrag

E

aus, ist die Berechnung über die nachfolgende Formel möglich:

E = \frac{K}{(m + (q - 1) \cdot \frac{m + 1}{2}) \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}}

E =

Sparbetrag

K =

Kapital

m =

Anzahl regelmäßiger, unterjähriger Zahlungen

q =

Zinssatz (dezimal)

n =

Anzahl Jahre

Mein Problem ist nun, dass bei besagten Produkten kein konstanter Zinssatz

q

zugrunde gelegt werden kann, sondern dieser variabel ist. Dies ist bei Sparprodukten sicherlich nicht unüblich, da nicht festverzinsliche Produkte eher volatil sind. Leider kann ich im Netz trotzdem keine Lösung für mein Problem finden und hoffe deshalb auf eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Zinsrechnung

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20:18 Uhr, 30.10.2018

Du musst die Zeiträume separat berechnen.
Sobald der Zins sich ändert, musst du neu ansetzen und das bisher angesparte mit dem neuen Zinssatz weiterführen, bis es wieder zu einer Änderung kommt.

Hast du eine konkrete Beispielaufgabe parat?

Seb87 aktiv_icon

21:27 Uhr, 30.10.2018

@supporter Zunächst einmal danke für deine Antwort. Ich versuche mein Anliegen mal anhand eines Beispiels zu konkretisieren.

Nehmen wir als Produkt einen Sparplan an, in welchen eine monatliche

(m = 12)

Einzahlung

E

erfolgt. Die Einzahlungen werden in unseren Beispiel in Fonds investiert und die Laufzeit unseres Sparplanes beträgt

n

Jahre. Zum Laufzeitende erhalte ich K. Die Verzinsung entsprach der Fondsperformance und variierte, sodass wir für unser Beispiel jährlich einen anderen Zins

q

annehmen. Mir sind alle Variablen einschließlich der unterschiedlichen Zinsen bekannt, nur habe ich leider die Höhe meiner monatlichen Einzahlung

E

vergessen. :-)

Deshalb möchte ich nun

E

berechnen.

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09:10 Uhr, 31.10.2018

Könntest du mir ein konkretes Zahlenbeispiel geben mit Angaben zu Zinssätzen und Zinszeiträümen
und Art der Verzinsung (monatlich, konform oder relativ, Sparbuchmethode).

Seb87 aktiv_icon

11:26 Uhr, 31.10.2018

Guten Morgen supporter,

folgend ein konkretes Zahlenbeispiel:

Beginn:

01.01.2010

Ablauf:

31.12.2015

Laufzeit

(n) : 6

Jahre
Zahlbetrag

(E) : 100

€
Zahlungsweise: monatlich (immer zum Monatsersten)

(m = 12)

Kapital zum Ablauf

(K) : 8060,10

€
Zinsen

(q) :

2010 = 7,30 %

2011 = 6,90 %

2012 = 3,50 %

2013 = 2,80 %

2014 = 5,10 %

2015 = 1,70 %

Weiter nehmen wir für unser Beispiel an, dass die Zinsgutschrift mtl. erfolgte. Uns ist der monatliche Zahlbetrag

E

nicht bekannt. Gesucht ist daher eine Formel die nach

E

auflöst. Die von mir oben genannte Formel funktioniert leider nur solange

q

konstant ist.

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08:49 Uhr, 01.11.2018

Ich gehe von konformer Verzinsung aus:

q_{1} = {1,073}^{\frac{1}{12}}

q_{2} = {1,069}^{\frac{1}{12}}

. .

q_{6} = {1,017}^{\frac{1}{12}}

(q_{1} \cdot \frac{q_{1}^{12} - 1}{q_{1} - 1} \cdot 1,069 \cdot 1,035 \cdot 1,028 \cdot 1,051 \cdot 1,017 + q_{2} \cdot \frac{q_{2}^{12} - 1}{q_{2} - 1} \cdot 1,035 \cdot ... 1,017

+ ... + q_{6} \cdot \frac{q_{6}^{12} - 1}{q_{6} - 1}) \cdot E = K

E = 100, K = 8060,10 (

in diesem Fall)

Du musst also alle jährlichen Einzahlungem bis zum Ende der Laufzeit aufzinsen.
Wenn du das Endkapital durch den Klammerterm dividierst, erhältst du die Sparrate.

Das kann man sicher mit einer allgemeinen Formel ausdrücken.Denk mal darüber nach, wenn du das Prinzip verstanden hast, so wie ich es sehe. :-)

Seb87 aktiv_icon

14:04 Uhr, 02.11.2018

Vielen dank für deine Bemühungen. Leider bekomme ich ein abweichendes Ergebnis und erhalte für

K = 8041,43

€ bzw. für

E

einen Beitrag in Höhe von

100,23

€. Gerechnet habe ich wie folgt:

(q_{1} \cdot \frac{q_{1}^{12} - 1}{q_{1} - 1} \cdot 1,069 \cdot 1,035 \cdot 1,028 \cdot 1,051 \cdot 1,017 +

q_{2} \cdot \frac{q_{2}^{12} - 1}{q_{2} - 1} \cdot 1,035 \cdot 1,028 \cdot 1,051 \cdot 1,017 +

q_{3} \cdot \frac{q_{3}^{12} - 1}{q_{3} - 1} \cdot 1,028 \cdot 1,051 \cdot 1,017 +

q_{4} \cdot \frac{q_{4}^{12} - 1}{q_{4} - 1} \cdot 1,051 \cdot 1,017 +

q_{5} \cdot \frac{q_{5}^{12} - 1}{q_{5} - 1} \cdot 1,017 +

q_{6} \cdot \frac{q_{6}^{12} - 1}{q_{6} - 1}) \cdot E = K

Als Ergebnis für den Klammerterm erhalte ich

80,4143424,

wobei es ja eigentlich

80,601

sein müsste.

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14:24 Uhr, 02.11.2018

Könnte daran liegen, dass relativ verzinst wurde.

q = 1 + \frac{i}{12}

q_{1} = 1 + \frac{7,3}{12}

q_{2} = . .

.

usw.

Versuchs mal damit für alle

q

. :-)

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