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Sparplan mit monatlicher Einzahlung und Bonuszahl

Universität / Fachhochschule

Tags: sparen, Sparkonto, Zinsrechnung

floatax aktiv_icon

09:25 Uhr, 05.09.2014

Hallo liebe Mathematiker,

für die Erstellung einer Website für eine lokale Spareinrichtung muss ich einen Zins- und Sparrechner für ein "Treuesparkonto" programmieren. Mit diesem sollen Kunden sofort in der Lage sein, ihren Ertrag beim Anlegen eines Betrages

X,

einer monatlich festen Sparrate und einem gestaffelten Bonus auf die Jahressparleistung errechnen zu können.

Die Staffelung sieht dabei wie folgt aus:
- Ab dem 2. Sparjahr:

2 %

auf die Jahresleistung
- Ab dem 3. Sparjahr:

3 %

auf die Jahresleistung
- Ab dem 4. Sparjahr:

4 %

auf die Jahresleistung

- ... .

. und so weiter, ABER:
- Ab dem

10

. Sparjahr:

15 %

auf die Jahresleistung
- Ab dem

11

. Sparjahr::

16 %

auf die Jahresleistung

- ... .

. und so weiter bis zum

20

. Sparjahr

Der Zinssatz beträgt konstant

1,5 % p . a

. Verzinst wird jährlich, die monatlichen Einzahlungen passieren vorschüssig.

Ich möchte nicht nur das Gesamtkapital nach der Laufzeit und Verzinsung ausgeben lassen, sondern den Sparbetrag, den Zinsbetrag, die Höhe der Bonuszahlungen und das Gesamtkapital.

Da die Staffelung der Bonusgutschriften nicht linear ist, gehe ich davon aus, dass ich eine Schleife brauche, die mir jedes Jahr einzeln ausrechnet, dann je nach Jahreszahl entscheidet, welcher Bonus dazukommt, zusammenrechnet und mit dem nächsten Jahr weitermacht.

Habt Ihr Ideen, wie ich diese Berechnungsschleife am besten aufbaue?

Vielen Dank und beste Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Zinsrechnung

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09:46 Uhr, 05.09.2014

Wie ist das mit den Bonuszahlungen genau zu verstehen ?
Bekommt

z . B

. jemand, der

11

Jahre spart einmalig

16 %

auf die bisherigen Einzahlungen inklusive deren Verzinsung oder läuft das anders ? Fallen etwa auch für die Jahre zuvor die jeweiligen Boni an ?

floatax aktiv_icon

10:11 Uhr, 05.09.2014

Die Boni werden auf die jeweilige (unverzinste) Sparleistung des Jahres gerechnet. Erst dann wird verzinst.

Ich hab die Zahlenreihe mal nachgebildet:
http//www.zinsen-berechnen.de/bonussparen.php?paramid=dnpqiwa6go

Die Bonuszahlungen kommen also jährlich auf die Sparleistung, also:

K 0 = 0 +

Sparrate

+

Zinsen

K 1 = K 0 +

Sparrate

+ 2 % +

Zinsen

K 2 = K 1 +

Sparrate

+ 3 % +

Zinsen

. .

.

Meine Idee ist deshalb, in der Programmierung eine Schleife zu bauen, die jedes Jahr einzeln berechnet, also vereinfacht dargestellt:

gesamtsparleistung

= 0;

zinsertrag

= 0;

bonus

= 0;

endkapital

= 0;

for( Jahr

= 1;

Jahr

\leq

Laufzeit; Jahr++

) {

jahressparleistung

= (12 \cdot

sparrate);
bonus = bonus

+

(jahressparleistung

\cdot 1.02);

gesamtsparleistung = gesamtsparleistung

+

jahressparleistung;
endkapital = endkapital

+

(jahressparleistung

+

[

VERZINSEN]);
zinsertrag = zinsertrag

+

((jahressparleistung

+

[

VERZINSEN]) - jahressparleistung);

}

Ich hoffe ich kann halbwegs verständlich machen, was ich machen möchte?

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10:41 Uhr, 05.09.2014

Das Problem ist, dass man einiges berücksichtigen muss: den sich jährlich ändernden Bonus, die jährlich zunehmende "normale" Verzinsung und den Bonussprung in

11

. Jahr.
Das Einzige, was sich nicht ändert, ist der jährlich fixe Sparbeitrag.
Ich glaube nicht, dass man das in einer einzigen Formel so einfach zusammenfassen kann.
Das Ganze ist hochkomplex. Da ich leider in Sachen Programmierung keine Erfahrung habe, hoffe ich, es meldet sich jemand, der dir besser weiterhelfen kann.
Eine Idee hätte ich noch:
Vllt.kann man das Ganze getrennt betrachten und rechnen:
a)reinen Endwert der Sparraten
b)verzinsten Endwert der Bonuszahlungen.
Aber auch das dürfte sehr aufwändig sein

v . a

. wegen des Sprunges bei den Bonuszahlungen.
Es gibt eine Formel für die Dynamisierung bei der Verzinsung. Nur wie man die hier einsetzt, weiß ich leider nicht.

floatax aktiv_icon

11:12 Uhr, 05.09.2014

Also von der programmiertechnischen Seite sehe ich nicht das große Problem. Wie ich oben schon ein wenig angedeutet habe, würde ich dafür eine Schleife schreiben, die jedes einzelne Jahr nacheinander berechnet und hinterher eine Summe bildet. Mein Problem ist, dass ich bei der Verzinsung der einzelnen Jahre nicht weiterkomme. Da fehlt mir wohl einfach ein bisschen mathematisches Verständnis.

Innerhalb der Programmschleife müsste also zunächst einmal jedes Jahr verzinst werden:

Gehe zu Jahr

1;

Nimm das Kapital des letzten Jahres (logischerweise

0)

verzinse die monatlichen Sparraten; Merk dir das Gesamtergebnis;
Gehe zu Jahr

2;

Nimm das Gesamtkapital des letzten Jahres; verzinse die monatlichen Sparraten; Merk dir das Gesamtergebnis;
und so weiter

Was ich also zunächst wissen müsste: Wie errechne ich unter einem festen monatlichen Sparbetrag von

100

Euro und einem immer gleichbleibenden Zinssatz von

1,5 %

einen Sparplan bei einer Laufzeit von

20

Jahren?

Ich habe schon viele Formeln im Internet gefunden, mit denen ich genau das ausrechne, aber eben das Gesamtkapital nach der kompletten Laufzeit. Was ich benötige sind die Zwischenergebnisse nach 1 Jahr, 2tem Jahr, 3tem Jahr, etc.

Also quasi eine Aufstellung wie hier: www.zinsen-berechnen.de/sparrechner.php?paramid=4tdzau4jxy

So könnte ich einfach in jedem Zwischenergebnis auf das Gesamtkapital des jeweiligen Jahres den entsprechenden Bonus aufschlagen und im Folgejahr mit dem Gesamtergebnis weiterrechnen.

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11:42 Uhr, 05.09.2014

Ohne die Bonuszahlungen gäbe es dafür die vorschüssige Ratensparformel.

Sie lautet:

K = r \cdot q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

K=Endkapital
r=monatl. Rate
q=konformer Monatszinsfaktor

In deinem Fall gilt:

r = 100

q = {1,015}^{\frac{1}{12}}

Das Endkapital

z . B

. nach

20

wäre in diesem Fall:

100 \cdot q \cdot \frac{q^{240} - 1}{q - 1} = 27973,34

Aber das gilt nur, wie gesagt, wenn keine Boni anfallen.Diese müsste man nun in ihrer
unterschiedlichen Höhe und ihrer Verzinsung irgendwie erfassen. Nur wie ? Die dynamisierte Ratensparformel könnte ein Weg sein, zumal die Sparraten konstant bleiben und auch die Boni vor und nach dem Sprung dynamisch um 1 Prozent pro Jahr zunehmen.
Das ergibt wieder eine geometrische Reihe mit eingebauter Dynamik, wofür es eine Formel
gibt.Vllt.kann mit 2 von diesen Reihen arbeiten , eine bis zum Bonussprung und eine für die Zeit danach. Man müsste dann den Endwert der ersten (die bis zum 10.Jahr geht) nur bis zum Vertragsende aufzinsen (falls länger als

10

Jahre gespart wird) und den Wert der zweiten dazuaddieren. So könnte es klappen, wenn ich keinen Denkfehler gemacht habe.

floatax aktiv_icon

11:53 Uhr, 05.09.2014

Vielen Dank, das hilft mir schon ein bisschen. Besser wäre es aber noch, wenn man nun die vorschüssige Ratensparformel dahingehend erweitern könnte, dass man in ein Jahr das angesparte Kapital des Vorjahres einrechnen kann, ungefähr so (nur ein Gedankenkonstrukt):

K_{1} = r \cdot q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = 1 . 219,90

K_{2} = K_{1} \cdot r \cdot q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = 2 . 447,95

K_{3} = K_{2} \cdot r \cdot q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = 3 . 694,42

Und so weiter...

Die Formel ist natürlich falsch, aber so ungefähr stelle ich mir das vor - also anstatt im Prinzip eine Formel für die komplette Laufzeit aufzustellen, möchte ich jedes Jahr einzeln ausrechnen. So kann ich zwischendurch eingreifen und den Bonus aufrechnen.

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12:28 Uhr, 05.09.2014

Du darfst nicht mit dem Kapital des Vorjahres multiplizieren. Es muss jeweils addiert und mitverzinst werden. Du darfst auch nicht vergessen, die steigenden Boni mit der Grundverzinsung von

1,5 %

mitzuverzinsen. Denn sie erhöhen das Kapital jeweils zum Jahresende. Mit der erwähnten dynamischen Ratensparformel könnte man ausgehend vom ersten Bonus den Endwert aller Boni bis zum Vertragsende erfassen.

Die Formel lautet:

r \cdot q \cdot \frac{d^{n} - q^{n}}{d - q}

r=Höhe der ersten Bonuszahlung
q=jährl. Grundverzinsungsfaktor (hier:1,015)
d=jährl. Dynamikfaktor (hier:

1,01)

.
Allerdings ist bei

d

der Sprung zu berücksichtigen. Das Problem ließe sich umgehen, wenn
man die Formel zweimal anwendet: einmal bis zum 10.Jahr, dann ab dem 11.Jahr bis zum Laufzeitende. Der Bonusendwert der ersten

10

Jahre müsste dann nur bis zum Laufzeitende
aufgezinst werden.
Wenn man die Endwerte aus der einfachen Sparformel und der dynamischen Sparformel addiert, sollte der korrekte Kapitalwert zum Laufzeitende herauskommen.

floatax aktiv_icon

12:36 Uhr, 05.09.2014

Okay, das klingt soweit logisch. Allerdings bin ich ehrlich gesagt ein bisschen überfordert damit, das in einen sinnvollen Rechenweg zu arbeiten, den ich anschließend (etwas banal gesagt) mit Stift und Taschenrechner ausrechnen kann.

Könntest Du mir vielleicht einmal eine Beispielrechnung aufstellen, sodass ich den Rechenweg nachvollziehen kann? Das würde mir schon unheimlich helfen.

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13:02 Uhr, 05.09.2014

Sorry, ich merke gerade, dass diese Dynamikformel hier falsch ist. Sie geht davon aus, dass der BONUSBETRAG um einen bestimmten konstanten Prozentwert des Vorjahres zunimmt. Hier steigt aber der ZINSSATZ FÜR DEN BONUS jedes Jahr um einen konstanten Wert,hier

1 %,

pro Jahr.
Ob es dafür eine Formel gibt, müsste ich erst recherchieren.Diese Formel müsste unser Problem lösen. Mit ihr könnte man dann ein Beispiel rechnen. Ich werde versuchen, das rauszukriegen.Vllt. klappt´s. :-))

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14:41 Uhr, 06.09.2014

Hallo floatax,
meine Recherchen waren leider erfolglos. Ich bezweifle allmählich, ob es eine solche Formel gibt. Das Problem ist, wie man die Verzinsung der Boni, die an sich eine einfache arithmetische Reihe darstellen, in eine Formel hineinkriegt.Das Ganze ist so gesehen ein Fall für einen Finanzmathematiker. Allerdings müsste eine Lösung "zu Fuß" mit Excel möglich sein. Doch damit kenne ich mich leider nicht aus.
Per Hand könnte man so vorgehen:-D)ie Boni der einzelnen Jahre berechnen und bis zum Laufzeitende mit der Grundverzinsung aufzinsen. Das sollte nicht allzu lange dauern.
Vllt. kann man das über Excel machen. :-))

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