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Spatprodukt

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Skalarprodukte

Tags: Spaltenvektor

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13:39 Uhr, 25.11.2010

Gegeben seien Zahlen

α, β \in R

. Es sei

A = (\begin{matrix} α & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & β \end{matrix}) .

a)

Berechnen Sie für die Menge der Spaltenvektoren

S 1, S 2, S 3

von A das Spatprodukt

[S 1, S 2, S 3] = S 1

(S 2

S 3) .

b)

Geben Sie die Menge aller

(α, β) \in R^{2}

an, für die das Spatprodukt gleich Null
ist.

c)

Für welche Werte von

(α, β)

sind die Vektoren

S 1, S 2, S 3

linear abhängig?

Brauche die Aufgabe dringend, verstehe sie aber nicht!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

BeeGee aktiv_icon

14:13 Uhr, 25.11.2010

Hi!

Bei einer dreidimensionalen Matrix ist das Spatprodukt der Spaltenvektoren gleich der Determinanten:

a) Da Du nur das Ergebnis möchtest:

$\det (\overset{\leftrightarrow}{A}) = 2 α β - β + 1$

b) 1 Freiheitsgrad (wähle z.B. $α$ beliebig)

$β = - \frac{1}{2 α - 1}; α \neq \frac{1}{2}$

c) Die Determinante einer Matrix (hier im Dreidimensionalen das Spatprodukt) ist dann ungleich 0, wenn ihre Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Also sind sie linear abhängig, wenn das Spatprodukt 0 ist (siehe b).

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14:34 Uhr, 25.11.2010

Kannst du mir deine Lösungen doch ausführlicher erklären bitte?

BeeGee aktiv_icon

15:17 Uhr, 25.11.2010

Die Matrix kannst Du Dir als drei nebeneinander geschriebene Spaltenvektoren vorstellen. Mit diesen kannst Du das Spatprodukt berechnen: zuerst das Vektorprodukt von S2 und S3, und diesen Ergebnisvektor skalar mit S1 multiplizieren. Alternativ kannst Du auch die Determinante der Matrix bestimmen. Es kommt dasselbe heraus.

$\det (\overset{\leftrightarrow}{A}) = 2 α β + 0 - 1 + 2 - 0 - β = 2 α β - β + 1$

Diesen Ausdruck setzt Du in b) dann = Null und erhältst die Beziehung von oben. Und für c) tut man sich am leichtesten, wenn man weiß, dass die Determinante gleich Null ist, wenn die Spaltenvektoren der Matrix linear abhängig sind.

Bigi86 aktiv_icon

15:24 Uhr, 25.11.2010

Ich weiss ich stell mich blöd an aber kannst du mir die gleichungen mit schritt für schritt erklärungen aufzeigen, weil ich versteh grad nur Bahnhof.

Danke für deine bemühungen!

BeeGee aktiv_icon

18:53 Uhr, 25.11.2010

Okay, zu a)

Ich weiß jetzt nicht, ob Du schon mal was von Determinanten gehört hast.

Da in der Aufgabe die Formel für das Spatprodukt angegeben ist, rechnen wir es mal über die Spaltenvektoren und nicht über die Determinante aus:

$\vec{S_{1}} = (\begin{matrix} \begin{matrix} α \\ 1 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}); \vec{S_{2}} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}); \vec{S_{3}} = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix} \\ β \end{matrix})$

Zunächst berechnen wir aus Deiner Formel das Vektorprodukt:

$\vec{S_{2}} \times \vec{S_{3}} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 β - 0 \\ - 1 - β \end{matrix} \\ 0 - (- 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 β \\ - 1 - β \end{matrix} \\ 2 \end{matrix})$

Und schließlich das Spatprodukt:

$\vec{S_{1}} \cdot (\vec{S_{2}} \times \vec{S_{3}}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} α \\ 1 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 β \\ - 1 - β \end{matrix} \\ 2 \end{matrix}) = 2 α β - 1 - β + 2 = 2 α β - β + 1 = β \cdot (2 α - 1) + 1$

Diesen Ausdruck musst Du in b) = 0 setzen, und erhältst damit die Beziehung, die ich oben schon hingeschrieben habe.

Bei c) nutzt Du die Eigenschaft, dass die Spaltenvektoren linear abhängig sind, wenn das Spatprodukt = 0 ist (wofür Du ja in b die Beziehung hergeleitet hast).

Klarer geworden?

Bigi86 aktiv_icon

19:29 Uhr, 25.11.2010

Ja vielen vielen dank!

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