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Spektraldarstellung einer Matrix

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Matrix, Spektraldarstellung

Pandora666 aktiv_icon

12:27 Uhr, 29.07.2012

Servus liebes Mathe-Forum,

ich hab eine Problem bei der Spektraldarstellung einer Matrix. Ich hab kein Problem aus der Matrix die Eigenwerte und Eigenräume zu bestimmen, jedoch haut nacher die Spektraldarstellung der Matrix nicht hin. Besser gesagt kommt nicht wieder die Originalmatrix raus.

Die Matrix

A = (\vec{a}, \vec{b})

\vec{a} = (1, - 2) \vec{b} = (1,4)

Sorry, weiß nicht, wie man hier Matrizen einfügt!

: (

Denke aber rein mathematisch sollte das korrekt sein.

Also, wie gesagt, die Eigenwerte die ich dazu ermittelt habe sind:

a_{1} = 2, a_{2} = 3

Die dazugehörigen Eigenräume: eig(A,2)=span

{

vec(1,1)} , eig(A,3)=span{vec(1,2)}

Stellt man nun dazu die Spektraldarstellung auf, kommt allerdings nicht wieder die Matrix A heraus, sondern völlige andere Werte. Hat mir einer eine Erklärung dazu? Wäre echt super, da ich am Dienstag schon die Klausur schreibe.

Beste Dank
Pandora

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

hagman aktiv_icon

14:41 Uhr, 29.07.2012

Für

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{matrix})

gilt

A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})

und

A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix})

. So weit, so gut,

{\vec{v}}_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und

{\vec{v}}_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

sind tatsächlich Eigenvektoren.
Wenn jetzt ein Vektor

a \cdot {\vec{v}}_{1} + b \cdot {\vec{v}}_{2}

gegeben ist, wie bestimmt man die Koordinaten bezüglich der Standardbasis? Ganz einfach, indem man

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})

von links mit der Matrix

B = ({\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

multipliziert.
Wie kommt man umgekehrt von Standardbasis zu EV-Basis? Mit der inversen Matrix

B^{- 1} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})

. Mithin

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}),

oder?

Pandora666 aktiv_icon

17:37 Uhr, 29.07.2012

Ich versteh nicht ganz worauf du hinaus willst. Ich habe es jetzt schon mehrfach nachgerechnet, aber ich komme durch die Spektraldarstellung einfach nicht auf die ursprüngliche Matrix. Könnte das daran liegen, weil sie nicht normal ist?

hagman aktiv_icon

17:46 Uhr, 29.07.2012

Was hast du denn für ein - vermeintlich falsches - Ergebnis raus?
Dass die Matrix nicht normal ist, bedeutet nur, dass die EV nicht orthogonal sind und dementsprechend die Basiswechselmatrix auch nicht (und dementsprechend ist die inverse nicht einfach die transponierte Matrix). Aber du hast ja explizit zwei verschiedene EW gefunden, so dass die Matrix auf jeden Fall diagonalisierbar ist.

Pandora666 aktiv_icon

19:19 Uhr, 29.07.2012

Also wie genau fügt man denn hier Matrizen ein? Dann könnte ich das Ergebnis posten. Ist aber im Prinzip nicht so wichtig. Der Punkt ist eher, dass eben nicht wieder die Originalmatrix rauskomme.
Wenn ich für eine Matrix die Eigenwerte und somit die Eigenräume habe, und dann die Spektraldarstellung mache, müsste doch eigentlich wieder die ursprüngliche Matrix rauskommen, wenn ich alles addiere oder?

hagman aktiv_icon

11:50 Uhr, 30.07.2012

Matrix

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

so eingeben:((a,_b),(c,_d)) (mit Leerzeichen statt Unterstrich).
Wenn man die drei von mir oben angegebenen Matrizen ausmultiplizirt, kommt wieder die gegebene heraus. Allerdings ist die Inverse wie gesagt nicht die Transponierte.

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