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Spektrum eines Differentialoperators

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktionalanalysis

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17:53 Uhr, 25.11.2020

Hallo,

ich bin ein Neuling auf dem Gebiet der Funktionalanalysis und aus dem Werner werde ich nicht so recht schlau.

Weil : das sieht für mich eher wie ein Nachschlagewerk aus als ein erklärendes Buch.

Ich möchte mich anhand von drei Beispielen in die Materie einarbeiten.

Wie also bestimme ich die Resolventenmenge und das Spektrum von folgenden Differentialoperatoren?

a)

D := I d

D := (2 x - 5) \cdot \frac{d}{d x}

D := \frac{d^{2}}{d x^{2}}

Gruß
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:30 Uhr, 25.11.2020

Ist Id die Abbildung

x \to x

? Dann ist Spektrum offensichtlich

1

, denn

1

ist ein Eigenwert, aber für

a \neq 1

ist

I d - a \cdot I d

invertierbar.

In b) und c) ist die Frage, in welchem Raum sind die Operatoren definiert.

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19:59 Uhr, 25.11.2020

D in b) und c) soll auf dem unendlichen Raum der komplexen Polynome in einer Variablen

x

operieren.

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20:15 Uhr, 25.11.2020

Und welche Norm willst du dabei nutzen?

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20:23 Uhr, 25.11.2020

ähm, brauche ich die Norm für den Operator oder für die Funktionen, auf denen er operiert?

Dann nehme ich doch mal einfach die euklidische Norm :-)

Sorry für die unwissende Frage, aber das ist Neuland für mich.

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20:33 Uhr, 25.11.2020

Die Definition des Spektrums ist:

λ

ist im Spektrum, wenn für

A - λ \cdot I d

keine beschränkte Inverse existiert. Um zu entscheiden, ob Inverse beschränkt ist, muss man die Norm der Inverse berechnen können. Dazu braucht man eine Norm im Raum selbst. Also eine Norm im Raum der Polynome in deinem Fall. Euklidische Norm ist dort nicht definiert.

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20:47 Uhr, 25.11.2020

Gibt es dann eine Maximumsnorm die ich benutzen kann?

Oder mittels einer Norm, die auf dem Skalarprodukt basiert?

Ich denke da an das übliche Integral über das Produkt von -1 bis 1.

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21:28 Uhr, 25.11.2020

"Ich denke da an das übliche Integral über das Produkt von -1 bis 1."

Ja, das nutzt man am meisten, denn damit bekommt man einen Prähilbert-Raum. Und in einem Hilbert-Raum ist Einiges einfacher.

Leider ist es ziemlich schwer, Spektrum von Differentialoperatoren zu bestimmen. In c) z.B. hast zu zwar offensichtlich keine EW außer

0

, aber damit ist noch nichts über das Spektrum gesagt. Ich bezweifle, dass man hier ohne schwere Theorie was machen kann. Da reicht vermutlich nicht mal Werner.

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23:16 Uhr, 25.11.2020

Um ein bisschen das Gefühl zu bekommen, mit welchen Schwierigkeiten bei solchen Aufgaben zu kämpfen ist, hier eine kleine Diskussion über das Spektrum von

d / d x

:
math.stackexchange.com/questions/2117107/spectrum-of-the-derivative-operator

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17:16 Uhr, 26.11.2020

Ich möchte als Beispiel für einen einfachen Differentialoperator

D := (s x + μ) \cdot \frac{d}{d x}

untersuchen :

Dazu stelle ich zuerst die Matrix-Darstellungen zu dem Operator auf.

f (x) := 1 \Rightarrow D (a) = (s x + μ) \cdot 0 = 0 \Rightarrow D ≐ (0)

f (x) := x \Rightarrow D (a x + b) = (s x + μ) \cdot a = s a x + μ a \Rightarrow D ≐ (\begin{array}{rcl} s & 0 \\ μ & 0 \end{array})

f (x) := x^{2} \Rightarrow D (a x^{2} + b x + c) = (s x + μ) \cdot (2 a x + b) = 2 s a x^{2} + (2 μ a + s b) x + b μ \Rightarrow D ≐ (\begin{array}{rcl} 2 s & 0 & 0 \\ 2 μ & s & 0 \\ 0 & μ & 0 \end{array})

f (x) := x^{3} \Rightarrow D (a x^{3} + b x^{2} + c x + d) = (s x + μ) \cdot (3 a x^{2} + 2 b x + c) =

3 s a x^{3} + (3 μ a + 2 s b) x^{2} + (2 μ b + s c) x + c μ \Rightarrow D ≐ (\begin{array}{rcl} 3 s & 0 & 0 & 0 \\ 3 μ & 2 s & 0 & 0 \\ 0 & 2 μ & s & 0 \\ 0 & 0 & μ & 0 \end{array})

f (x) := x^{4} \Rightarrow D ≐ (\begin{array}{rcl} 4 s & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 μ & 3 s & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 μ & 2 s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 μ & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & μ & 0 \end{array})

\dots

D - λ I d = (\begin{array}{rcl} 4 s - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 μ & 3 s - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 μ & 2 s & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 μ & s - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & μ & - λ \end{array})

Die Eigenwerte sind leicht von der Diagonalen abzulesen.

Sie (und damit auch das Spektrum) sind

λ = k \cdot s

k \in ℕ_{0}

Im folgenden die Eigenfunktionen zu den jeweiligen Eigenwerten :

λ = 0 \Rightarrow F = 1

λ = s \Rightarrow F = x + \frac{μ}{s}

λ = 2 \cdot s \Rightarrow F = x^{2} + 2 \frac{μ}{s} x + \frac{μ^{2}}{s^{2}}

λ = 3 \cdot s \Rightarrow F = x^{3} + 3 \frac{μ}{s} x^{2} + 3 \frac{μ^{2}}{s^{2}} x + \frac{μ^{3}}{s^{3}}

\dots

Die Eigenfunktion zu

λ = k \cdot s

ist allgemein

F_{k} = \sum_{j = 0}^{k} (\binom{k}{j}) \cdot {(\frac{μ}{s})}^{j} x^{k - j}

Hier ist das Spektrum eines Differentialoperators also einfach zu berechnen.

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17:44 Uhr, 26.11.2020

"Hier ist das Spektrum eines Differentialoperators also einfach zu berechnen."

Nein.
Spektrum ist NICHT die Menge der Eigenwerte. Spektrum ist im allgemeinen Fall größer, oft viel größer.
Der Raum der Polynome ist sehr klein, daher hat dieser Operator vermutlich ganz

ℂ

als Spektrum.

Und im Prinzip kommt man mit der Matrixdarstellung einfach nicht weit, denn sie funktioniert für "vernünftige" Räume gar nicht. Z.B. für den Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Weiter als Polynome kommst du nicht, und Polynome sind wie gesagt ein zu kleiner Raum.

Sukomaki aktiv_icon

21:25 Uhr, 26.11.2020

Aber warum steht dann im Teubner - Taschenbuch der Mathematik

"Das Punktspektrum

σ_{p} (A)

von A besteht aus genau allen Eigenwerten von A"?

Was genau ist der Unterschied zwischen dem Spektrum und dem Punktspektrum?

Das Punktspektrum ist eine Untermenge vom Spektrum, oder?

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21:47 Uhr, 26.11.2020

Ja, Spektrum besteht aus dem Punktspektrum (genauer muss man hier die abgeschlossene Hülle des Punktspektrums nehmen) und aus dem stetigen Spektrum. Das letzte wird noch in absolutstetiges und singulär stetiges unterteilt. Es gibt aber auch andere Unterteilungen. Das ist (zumindest oberflächlich) in Wikipedia beschrieben:
de.wikipedia.org/wiki/Spektrum_(Operatortheorie)

Sukomaki aktiv_icon

16:57 Uhr, 27.11.2020

Wenn ich außer Polynomen allgemein stetige Funktionen zulasse.

Müsste dann ein Eigenwert zu

\frac{d^{2}}{d x^{2}}

nicht

1

sein?

Ich dachte wegen

\frac{d^{2}}{d z^{2}} e^{z} = 1 \cdot e^{z}

Auch

e^{- z}

wäre ja dann eine Eigenfunktion.

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18:01 Uhr, 27.11.2020

Sogar jede

e^{k z}

mit jedem

k

, zu dem Eigenwert

k^{2}

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