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Spiegelung|Spiegelmatrix an Ursprungsebene

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: spiegelmatrix, spiegelung

siggi92 aktiv_icon

14:04 Uhr, 15.09.2013

Hallo, stecke derzeit in der Prüfungsvorbereitung und sitze schon seit 2 Stunden an der Aufgabe und komme nicht richtig voran. Habe ein enormes Verständnisproblem mit der folgenden Aufgabe:

Gegeben:
Ursprungsebene

Γ = [\vec{a}, \vec{b}]

\vec{a} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

\vec{b} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

L : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

Spieglung an

Γ

Gesucht:
a.)

L (\vec{0}), L (\vec{a}), L (\vec{b}), L (\vec{a} \times \vec{b})

b.) Matrizendarstellung von L, d.h. Matrix mit

L (\vec{x}) = M \vec{x}

c.) für Punkt

\vec{x} = {\vec{e}}_{1} L (\vec{x})

und

d (\vec{x}, Γ)

bestimmen.

Mein Überlegungen:
zu a.) Die Vektoren

\vec{0}, \vec{a}, \vec{b}

liegen alle in der Spiegelebene, deswegen würde dann die Spiegelung so aussehen:

L (\vec{0}) = \vec{0}

L (\vec{a}) = - \vec{a}

L (\vec{b}) = - \vec{b}

L (\vec{a} \times \vec{b}) = - (\vec{a} \times \vec{b})

Weil

\vec{a} \times \vec{b}

senkrecht auf der Spiegelebene steht.

Ich hoffe das das soweit richtig ist.

Zu b.) und c.) fällt mir kein richtiger Ansatz ein.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln
Parallelverschiebung
Spiegelung Punkt an Ebene
Spiegelung Punkt an Gerade

pwmeyer aktiv_icon

15:24 Uhr, 15.09.2013

Hallo,

bedeutet Spiegelung nicht, dass die Vektoren, die in der Spiegelebene liegen, unverändert bleiben, also

L (a) = a, L (b) = b

. Nur der Senkrechte Vektor

n := a \times b

wird auf sein Negatives abgebildet.

Damit hast Du doch auch schon drei Bedinungen für die gesuchte Matrix:

Ma

= a,

= b,

= - n

Gruß pwm

siggi92 aktiv_icon

17:12 Uhr, 15.09.2013

Hey,
ah vielen Dank, das ist natürlich mehr als logisch, da habe ich mir einen totalen Knoten in den Kopf gemacht.

Für M hab ich das raus:

M = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

So bei Teilaufgabe c.) habe ich

L ({\vec{e}}_{1}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

raus.

Wie bestimme ich da nun den Abstand ?

siggi92 aktiv_icon

15:50 Uhr, 18.09.2013

Die einzigste Möglichkeit die mir einfällt, wäre das mit der Hesseform auszurechnen, wäre das korrekt ?

prodomo aktiv_icon

16:40 Uhr, 18.09.2013

Nicht unbedingt. Lasse eine Gerade durch den abzubildenden Punkt mit

\vec{a} x \vec{b} = \vec{n}

als Richtungsvektor die Ebene durchstoßen und verdoppele den Vektor bis dahin. Dazu brauchst du

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

. Als abzubildenden Vektor kannst du einen beliebigen aus

ℝ^{3}

benutzen, also

(\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix})

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