Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Spiralkurve im gleichseitigen Dreieck

Spiralkurve im gleichseitigen Dreieck

Universität / Fachhochschule

Tags: drei Ecken, Drei Indianer

Antworten

Neue Frage stellen

Im Forum suchen

Neue Frage

Bersch

Bersch aktiv_icon

12:43 Uhr, 21.03.2020

Antworten

Das gleichseitige Dreieck hat die drei Ecken

A, B, C

.
In jeder Ecke sitzt ein Indianer. Diese bezeichne ich

' A',' B',' C'

.

' A'

sieht nur

' B',' B'

sieht nur

' C'

und

' C'

sieht nur

' A'

.
Alle drei krabbeln gleichzeitig los, jeder immer in die Richtung, in der sich momentan der befindet, den er sieht.
Natürlich krabbeln alle drei mit derselben konstanten Geschwindigkeit.
Irgendwann erschlagen sich alle drei gleichzeitig im Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks.
Aber wie sieht die Kurve aus, die jeder von ihnen gekrabbelt ist?
Wie ist die Funktionsgleichung?
Wie lang ist der Weg, den jeder zurückgelegt hat?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Bummerang

13:02 Uhr, 21.03.2020

Antworten

Hallo,

beschäftige Dich mal damit: de.m.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Spirale

Antwort

maxsymca

21:14 Uhr, 21.03.2020

Antworten

Und die Grafik dazu in GeoGebra.
Hast Du das so gesehen?

Window_2020-03-21_21-05-28

Frage beantwortet

Bersch

Bersch aktiv_icon

16:58 Uhr, 22.03.2020

Antworten

Ich habe in Wikipedia nachgesehen und angenommen, dass die Kurve eine logarithmische Spirale ist mit

r (φ) = a \cdot e^{k \cdot φ}

. Habe auch

x -

und y-Koordinaten berechnet und den Graph gezeichnet. Er sieht so aus wie ein Ast deiner Grafik. Die Länge eines Astes ist

\sqrt{1 + k^{2}} \cdot \frac{r}{k}

. Mit

k = \sqrt{3}

und

r = s \cdot \frac{\sqrt{3}}{3},

wobei

s

die Seitenlänge des Dreiecks ist, ergibt sich für die Länge eines Astes

s \cdot \frac{2}{3}

.
Ich glaube nun, dass die Kurve eine logarithmische Spirale ist.

Antwort

maxsymca

19:54 Uhr, 22.03.2020

Antworten

Jep,

für k erhalte ich das gleiche...
Bei a bin ich mir nicht sicher, ich komm auf -1/80 für den nach oben gehenden Ast.
Wie hast Du a bestimmt?

Frage beantwortet

Bersch

Bersch aktiv_icon

01:37 Uhr, 23.03.2020

Antworten

Ich meine, dass a ein Faktor ist, der eine ganz konkrete logarithmische Spirale spezifiziert. Die x-Koordinate eines Kurvenpunktes ist

a \cdot e^{\sqrt{3} \cdot φ} \cdot cos (φ)

. Der Mittelpunkt des Dreiecks (Pol) ist

(0; 0)

des x-y-Koordinatensystems. Linksdrehend hat dann der Strahl vom Pol zur linken unteren Ecke den Winkel

φ =

210°

= 3,665191429

rad.

e^{\sqrt{3} \cdot φ}

ist dann

571,5190265

und

cos (φ) = - 0,866025403

.
Ich wähle ein Dreieck mit der Seitenlänge

s = 15

cm. Dann ist die x-Koordinate des linken unteren Eckpunktes

- 7,5

cm. Jetzt habe ich alles zusammen und kann a bestimmen zu

0,015153045

cm. Der Ast von der linken unteren Ecke zum Pol ist unter diesen Annahmen nach oben gewölbt.

Antwort

maxsymca

14:32 Uhr, 23.03.2020

Antworten

Ach ja,

danke - ich hab den Ursprung der Spirale ja nicht im KO-Ursprung und muss deshalb den Versatz mit einbeziehen.

etzatla...

1497582

1497451