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Spurgerade Gxy einer Ebene bestimmen

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Achsenabschnittform, eben, Gerade, Koordinatenform, Normalform, Paramterform, Spurgerade, Spurpunkt, Vektor

Castro aktiv_icon

23:33 Uhr, 02.05.2014

Hallo!

Ich komme bei einer Matheaufgabe nicht weiter. Die Aufgabe ist von meinem Übungsblatt für die baldige Klausur und ich verstehe zur Zeit nicht, was ich falsch mache. Es geht darum, die Spurgerade einer Ebene in G_xy zu bestimmen.

Aufgabe lautet: Berechne die Spurgerade G_xy von

E

auf ZWEI Arten.

Die Ebene lautet:

E : (3 | 2 | 0) + r (0 | - 2 | 2) + s (- 3 | 0 | 2)

Spurpunkte:

x (6 | 0 | 0)

\\ y(0|4|0)\\z(0|0|4)

Die erste Art habe ich schon erledigt, indem ich einfach zwei Spurpunkte nahm und eine normale Geradengleichung aufstellte:

g : (6 | 0 | 0) + r (- 6 | 4 | 0)

Wie ist denn die zweite Art? Ich ging davon aus, dass wenn es die Spurgerade G_xy ist,

z = 0

sein muss.

Das tat ich dann auch:

0 = 2 r + 2 s

Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter. Hilfe? Bitte? Wie gehe ich nun vor? :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

23:46 Uhr, 02.05.2014

Spurgerade: Schnittgerade dieser beiden Ebenen

. .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Nachtrag: Auch hier gibt es zwei Möglichkeiten. Dein Ansatz

z = 0

ist für eine dieser Möglichkeiten zielführend.

Ma-Ma aktiv_icon

23:59 Uhr, 02.05.2014

Stelle

0 = 2 r + 2 s

nach einem Parameter um und setze dies in Deine Parametergleichung ein.

Stephan4

00:21 Uhr, 03.05.2014

n_{ε} = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) x (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ - 6 \\ - 6 \end{matrix}) / / (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

ε : n_{ε} \cdot \vec{X} = n_{ε} \cdot \vec{E}

ε : (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} X \\ Y \\ Z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

ε : 2 x + 3 y + 3 z = 12

z = 0 \Rightarrow g_{x y} : 2 x + 3 y = 12

Ein anderer Weg, so wie ihn Ma-Ma bereits angedeutet hat, ist wahrscheinlich eleganter, vielleicht sogar schneller. Das hier ist eher die hau-drauf-Methode.

Castro aktiv_icon

01:17 Uhr, 03.05.2014

Die Sache ist, ich hab den Paramter

s

oder

r

doch garnicht gegeben? Und wir haben das in der Schule so gemacht, dass wir nie

s

oder

r

ausgerechnet hatten. Weiß nur nicht mehr, was wir gemacht hatten.

Ma-Ma aktiv_icon

01:23 Uhr, 03.05.2014

Dann folge meinem Hinweis. Deine Annahme:

z = 0

0 = 2 r + 2 s

Ich wiederhole mich:
Stelle

0 = 2 r + 2 s

nach einem Parameter um und setze dies in Deine Parametergleichung ein.

Stelle

z . B

. nach

s

um. (Nachträglich geändert.)

Wie weit kommst Du ?

Ma-Ma aktiv_icon

01:35 Uhr, 03.05.2014

Kleine Irritation meinerseits: Deine Spurpunkte in Deiner Aufgabe sehen eigenartig aus. Prüfe diese bitte nochmal!

Castro aktiv_icon

11:10 Uhr, 03.05.2014

Meine Spurpunkte sind völlig richtig, ich habe ein Lösungsblatt, jedoch ohne Lösungswege. Auch die erste Variante der Bestimmung einer Spurgeraden ist bei mir völlig korrekt.

Und wenn ich das einsetze:

0 = 2 r + 2 s | - 2 r

2 s = - 2 r | : 2

s = - r

Gleichung:

(3 | 2 | 0) + r (0 | - 2 | 2) - r (- 3 | 0 | 2)

z = 0

0 = 2 r - 2 r

0 = 0

Und jetzt?

Ma-Ma aktiv_icon

20:41 Uhr, 03.05.2014

Annahme:

z = 0

Somit

s = - r = (- 1) \cdot r

Alles bestens.

Einsetzen in Parametergleichung hast Du auch richtig gemacht.

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

Multipliziere den letzten Term mit

(- 1),

anschließend fasse zusammen.

LG Ma-Ma

Castro aktiv_icon

12:15 Uhr, 04.05.2014

Oh, danke.. Nach ein paar Stunden Mathe sehe ich die einfachsten Dinge nicht.

Ich hab das jetzt gemacht, udn das kommt raus:

(3 | 2 | 0) + r (3 | - 2 | 0)

Ist das so richtig?

Femat aktiv_icon

21:45 Uhr, 04.05.2014

Ja das stimmt.

Den Richtungsvektor einer Schnittgeraden kann man als Kreuzprodukt der Normalenvektoren der beiden Ebenen bestimmen.
Der Normalenvektor deiner Ebene ist das Keuzprodukt derer Richtungsvektoren

(0; - 2; 2) x (- 3; 0; 2) = (- 4; - 6; - 6)

das gekürzt bzw. durch

- 1

ist

(2; 3; 3)

Der Normalenvektor der x-y-Ebene heisst

(0; 0; 1)

Das Kreuzprodunkt der Normalenvektoren

(2; 3; 3) x (0; 0; 1) = (- 3; 2; 0)

ist der Richtungsvektor der Schnittgeraden, also deiner Spurgeraden. Das ist einfach das (-1)fache deines Richtungsvektors.

Ma-Ma aktiv_icon

23:05 Uhr, 04.05.2014

@Femat: Deine Lösung ist auch sehr interessant.
(Ein weiteres Verfahren wäre mittels Parameter- und Koordinatengleichung.)
LG Ma-Ma

Stephan4

05:35 Uhr, 05.05.2014

. .

. wie bereits in meinem Beispiel ganz oben gezeigt wurde. ;-)

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