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Spurgeraden einer Ebene

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: eben, spurgeraden

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11:47 Uhr, 27.10.2014

Hallo, ich habe nochmal kurz eine Frage zu einer Ebenenaufgabe.
Bei der folgenden Aufgabe sollen wir nur mit

F

und nicht mit

E

rechnen

a :

Ich habe einfach die 3 Spurgeraden ausgerechnet und begründet, wenn man für den Parameter

r

die Zahl Null einsetzt erhält man bei allen 3Geraden die Koordinaten des Ursprungs.
Damit wäre doch die Aufgabe gelöst.

b :

Da ich ja die Spurgeraden bei a bereits ausgerechnet habe war es kein Problem sie zu zeichnen.
Doch was meint man jetzt mit: "Geben Sie mithilfe von Parallelen zu den Spurgeraden jeweils einen Ebenenausschnitt an?
So erhalte ich doch nicht die Ebene

F,

oder doch?

clemunicator aktiv_icon

13:00 Uhr, 27.10.2014

hab Dir mal ein Bild zur Erläuterung beigefügt, vielleicht erklärt das ja Deine Frage

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15:13 Uhr, 27.10.2014

Danke für die Erklärung, aber irgendwie erklärt es meine Frage nicht.
Wie meint man das mit den Parallelen zu den Spurgeraden?
Was Spurgeraden sind habe ich jetzt verstanden und ich weiß auch wie ich sie bestimme.

clemunicator aktiv_icon

15:44 Uhr, 27.10.2014

kann Dir das hier leider schwer erklären, weil bei mir der Formeleditor leider nicht funktioniert (irgendein JavaScript Fehler) und ich das hier auch nicht aufzeichnen kann, aber ich denk die beigefügte Datei wird Deine Frage klären, was es mit den Parallelen zu den Spurgeraden auf sich hat

ledum aktiv_icon

16:23 Uhr, 27.10.2014

Hallo
um zu zeigen, dass die Ebenen durch den 0 Punkt gehen, braucht man die Spurgeraden nicht, man muss ja nur zeigen, dass die Ebenengleichung

E

durch

a_{1} = x_{1} = x_{3} = 0

erfüllt ist und

R

den "Stützvektor? 0 hat.
eine Parallele zu der Spurgeraden in

x_{3} = 0

liegt

z

B

in der Ebene

x_{3} = 1

oder x_3=fester Wert-
in Zeichnung 2 ted doc

b)

des vorposts ist etwa eine Parallele zu

g_{12}

in der Ebene

x_{3} = 2

gezeichnet, dann findest du einen Dreieck in der Ebene.
bis dann, lula

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16:41 Uhr, 27.10.2014

Ok, das mit der Ebene habe ich verstanden.
Denn in der Formel ist ja der Stützvektor der Ebene nicht gegeben. Er ist somit der Ursprung.

Das mit der Parallelen verstehe ich irgendwie nicht.
Eine der Spurgeraden lautet ja:

g 1 : \vec{x} = r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Wie soll ich jetzt hier die Parallele dazu ermitteln?
Sicherlich, ich könnte den Stützvektor vom Ursprung

z . B

. auf

(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

verschieben.
Damit hätte ich die Geradengleichung in negative X11-Richtung verschoben und eine Ebene (zwischen den beiden Geraden gebildet).
Aber was bringt mir diese Ebene?
Das ist ja nicht die ursprüngliche Ebene F.
Ist nach der garnicht gefragt?
Und wäre mein Vorgehen so richtig?
-Ich habe aber keine Ahnung was die neu gebildete Ebene (zwischen den beiden verschobenen Geraden) nützen soll?

funke_61 aktiv_icon

10:38 Uhr, 28.10.2014

hm, ich würde die Sache etwas anders sehen:
Du suchst zunächst die Spurgeraden zu

F : \vec{x} = r (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Nehmen wir zuerst die Spurgerade in der

x_{1}, x_{2}

-Ebene.
Diese hat die Gleichung

x_{3} = 0

Dazu setze ich zunächst

x_{3} = 0

in die Parametergleichung ein und erhalte

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix}) = r (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Dies liefert wiederum ein Gleichungssystem

x_{1} = r - s

x_{2} = 2 r + 2 s

0 = r + 2 s

welches zu lösen ist und zB. eine Geradengleichung mit

x_{1}

und

x_{2}

als Variablen ausspucken sollte.
(Dabei ist noch zu bedenken, dass der Ursprung

(0; 0; 0)

auch in der Spurgerade enthalten sein muss)
Ich komme so

z . B

. zu

2 x_{1} + 3 x_{2} = 0

(hier habe ich mich verrechnet, siehe unten)

Evtl. ist es aber sogar noch sinnvoller, die Spurgerade in Parameterform zu suchen.
Dazu braucht man nur die dritte Gleichung des Gleichungssystems auswerten, also die die Bezeihung

r = - 2 s

Diese Beziehung dient dazu, einen der beiden Paramerter der Ebenengleichung zu eleminieren. Übrig bleibt die gesuchte Spurgerade (hier mit dem Parameter

s,

aber hier habe ich mich auch verrechent, siehe unten):

\vec{x} = s (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Wenn wir nun eine Parallele zu dieser Spurgerade suchen, würde ich zB. mit der Ebene

x_{3} = 3

(bzw. allgemein

x_{3} = a)

schneiden, also

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ 3 \end{matrix}) = r (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

bzw. allgemein

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ a \end{matrix}) = r (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

entsprechend untersuchen.
;-)

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11:40 Uhr, 28.10.2014

Genau so, wie du als 2. Möglichkeit beschrieben hast bin ich vorgegangen.
Müsste es dann nicht heißen:

\vec{x} = s \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

?

Wenn ich das selbe nun mit

x 3 = 3

mache, dann komme ich auf:

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 - 3 s \\ 6 - 2 s \\ 3 \end{matrix}) = s \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

Wäre das so richtig?
Und das ist jetzt die gesuchte Paralele?

Dann ist ja mein Lösungsweg mit einfach

+ (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

hinten dran hängen falsch, oder?

EDIT: Nur eine kurze Frage am Rande. Wie kann ich feststellen, dass die Ebene

F

keine Koordinatenachse enthält?

funke_61 aktiv_icon

08:29 Uhr, 30.10.2014

Du hast recht, ich habe mich oben verrechnet.
korrekt ist:

2 x_{1} - 3 x_{2} = 0

und gleichzeitig

x_{3} = 0

(denn

2 x_{1} - 3 x_{2} = 0

ist ja eine EBENENGLEICHUNG in

ℝ^{3})

bzw. viel besser:

\vec{x} = s (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

oder auch:

\vec{x} = \frac{r}{2} (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Richtig wäre aber natürlich auch auch Deine Lösung von oben, wenn Du einen anderen Parameter wählst, zB.

t = \frac{r}{2}

.
Ich korrigiere es oben ausnahmsweise nicht, damit dieser Thread verständlicher bleibt.

Mit

x_{3} = 3

komme ich inzwischen auch auf deine Lösung, würde aber noch den Stützvektor nach vorne ziehen:

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

Dies ist meines Erachtens eine sinnvolle Lösung, da eine Ebene auch durch zwei parallele Geraden definiert werden kann.

Wenn Du Lust hast, dann mach noch die Probe und setze diese Gerade mit der Ebene

F

gleich

(\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) = r (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

und prüfe, ob das daraus entstehende Gleichungssystem Widersprüche enthält.
;-)

Wenn Du nur den Stützvektor vom Ursprung

z . B

. auf (−3;0;0) verschiebst, dann hast Du zwar eine Parallele Gerade zur gefundenen Spurgeraden, aber diese ist (im Allgemeinen) nicht Element der Ebene

F

(oder: nicht in

F

enthalten).

Damit ergeben sich folgende Antworten auf Deine obigen Fragen, die ich Dir leider in meinem letzten Beitrag noch nicht beantwortet habe:

"Damit hätte ich die Geradengleichung in negative X11-Richtung verschoben und eine Ebene (zwischen den beiden Geraden gebildet)."
Genau, aber nicht die Ebene F.

"Aber was bringt mir diese Ebene?"
nichts.

"Das ist ja nicht die ursprüngliche Ebene F."
eben :-)
"Ist nach der garnicht gefragt?"
so ist es :-)

"Und wäre mein Vorgehen so richtig?"
ich glaube nicht.

Nun noch zu Deiner neuen Frage:

"Nur eine kurze Frage am Rande. Wie kann ich feststellen, dass die Ebene

F

keine Koordinatenachse enthält?"
Die

x_{1}

-Achse kannst Du zB. durch die "Parametergleichung"

\vec{x} = u (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

darstellen.
Setze diese wieder gleich mit der Ebene

F

und untersuche das entstehende Gleichungssystem

. .

.
Du erkennst in diesem Fall sofort, dass sich die zweite und die dritte Gleichung widersprechen

. .

.
;-)
warum?).

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17:01 Uhr, 30.10.2014

Vielen Dank für eure Geduld.
Unten ist noch die Begründung, warum die Ebene keine Koordinatenachse enthält.

Hoffe es stimmt so xD.

EDIT: Im letzten Satz habe ich "im Widerspruch zur Gleichung 1 vergessen.
Denn

1 = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0

ist falsch.

funke_61 aktiv_icon

10:23 Uhr, 31.10.2014

Fast, aber tut mir leid: Du hast den von mir neu eingeführten Parameter

u

vergessen.
Die

x_{1}

-Achse hat mit diesem Parameter

u \in ℝ

aber die Parameterdarstellung

\vec{x} = u (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

klar, warum?
Wenn Du

F

nur mit dem Ortsvektor

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

gleichsetzt, muss ein Widerspruch rauskommen (klar, warum?).
Dies wäre "nur" die Untersuchung, ob der Punkt

(1; 0; 0)

Element der Ebene

F

ist (also ob der Punkt

(1; 0; 0) \in F

enthalten ist).

Setzt Du aber die Gleichung der

x_{1}

-Achse mit der Ebene

F

gleich, ergibt sich aber die Vektorgleichung

u (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = r (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Das darin enthaltene Gleichungssystem ist zu untersuchen, wenn Du wissen willst, ob die

x_{1}

-Achse in

F

enthalten ist.
Da aber Deine 2. und deine 3. Gleichung identisch mit diesem Gleichungssystem sind, ist Deine Aussage
"Aus 2 und 3 wird klar, dass dies nur zutreffen würde, wenn

r

und

s

gleich null sind"
korrekt :-)
Es bleibt also noch

r = 0

und

s = 0

in die erste Gleichung einzusetzen:

u = r - s

u = 0 - 0

Dies führt zu

u = 0

Was sagt uns nun dieses Ergebnis?
;-)

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12:20 Uhr, 31.10.2014

Achso,
es sagt uns, dass das Gleichungssystem dann erfüllt ist wenn

u = 0

.

Aus der Gleichung

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ergibt sich für

u = 0 :

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

->Ebene schließt X1-Achse im Ursprung ein->Ebene geht "nur" durch Ursprung->Schließt Achse nicht ein.

Richtig?

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14:11 Uhr, 31.10.2014

EDIT:

Ich habe jetzt mal die anderen 2 parallelen ausgerechnet (immer mit

x 1

bzw

x 2

gleich

3,

aber ist ja egal welchen Wert man einsetzt).

g 2 : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

g 3 : \vec{x} = (\begin{matrix} 1,5 \\ 3 \\ 1,5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Dann habe ich die mit den Spurgeraden eingezeichnet und jeweils die entstandene Fläche zwischen der Spurgerade und der Parallele dazu farbig markiert.
Damit wäre die Aufgabe doch erledigt.

funke_61 aktiv_icon

17:34 Uhr, 02.11.2014

Ja, Deine Geraden

g_{2}

und

g_{3}

erhalte ich auch als Parallelen zu den beiden restlichen Spurgeraden (also für

x_{1} = 0

bzw.

x_{2} = 0)

(und zwar mit der der Annahme (bzw. Vorgabe)

x_{1} = 3

bzw.

x_{2} = 3

:-)
Diese Annahme (bzw. Vorgabe) musst Du zusätzlich nennen, sonst erhältst Du wahrscheinlich Punktabzug.

Hier mein Vorschlag zur Verdeutlichung Deines vorletzten Posts:
Das Gleichungssystem hat die Lösung

u = 0,

r = 0

s = 0

.
Aus der Geradengleichung für die

x_{1}

-Achse

\vec{x} = u \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ergibt sich für

u = 0

der Ortsvektor für den Ursprung (also

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

" Nullvektor")
Also ist der Ursprung Element der Ebene F.
Alle anderen Punkte der

x_{1}

-Achse sind aber nicht Element der Ebene

F,

da diese das Gleichungssystem nicht lösen.

Ich glaube auch, dass damit diese Aufgabe nun erledigt ist.
:-)

Ach ja: bedenke bitte, dass auch

x_{1} = 3

(bzw.

x_{2} = 3)

EBENEN-GLEICHUNGEN in

ℝ^{3}

sind.

TermX aktiv_icon

17:52 Uhr, 02.11.2014

Ok, dann danke an alle für die gute Hilfe. ;-)

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