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Stabilisator jedes Element!

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Master9362 aktiv_icon

12:43 Uhr, 30.10.2020

Es operiere S_3 auf sich selbst durch Konjugation. Könnte mir jemand helfen, wie ich den Stabilisator jedes Elements, das Zentrum, sowie ein Vertretersystem der Bahnen angeben soll?

Vielen Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

13:44 Uhr, 30.10.2020

Hallo,
als Beispiel will ich den Stabilisator von

(1 2)

(ich benutze Zykelschreibweise) anfangen zu bestimmen.
Ich suche also nach allen

σ \in S_{3}

mit

σ \cdot (1 2) = σ (1 2) σ^{- 1} = (1 2)

.
Probieren wir es mal mit

σ = (1 3)

.
dann bekommen wir

(1 3) (1 2) (1 3)^{- 1} = (1 3) (1 2) (1 3) = (2 3)

.
Damit liegt

(1 3)

nicht im Stabilisator von

(1 2)

.
So kannst du alle Elemente von

S_{3}

durchtesten.
Dabei erkennst du vielleicht ein paar Regeln, die die Arbeit
erleichtern, z.B..
sei

(a_{1} \dots a_{k})

ein Zykel, dann ist für jede Permutation

σ

σ (a_{1} \dots a_{k}) σ^{- 1} = (σ (a_{1}) \dots σ (a_{n}))

.
Gruß ermanus

Master9362 aktiv_icon

14:05 Uhr, 30.10.2020

Ok, ich habe vielleicht verstanden. Also sind die restlichen Stabilisatoren (132) und (123) ?oder gibt es noch andere?

ermanus aktiv_icon

14:11 Uhr, 30.10.2020

Ich weiß nicht, wie ihr den Stabilisator eines Elementes

x

bezeichnet,
vielleicht so

G_{x}

, wenn

G

die operierende Gruppe ist.
In unserem Falle ist

G = S_{3}

.
Klar ist

σ \cdot σ = σ σ σ^{- 1} = σ

, also
gilt für jedes

σ \in G : σ \in G_{σ}

,
d.h. jedes Element von

S_{3}

liegt in seinem eigenen Stabilisator.
Nun ist der Stabilisator eine Untergruppe von

G = S_{3}

.
Damit ist der Stabilisator von

τ = (1 2)

eine Untergruppe von

S_{3}

,
die

i d

und

τ

enthält. Zwischen

{i d, τ}

und

S_{3}

liegt aber keine weitere
Untergruppe, also ist

G_{τ}

entweder

= {i d, τ}

oder

= G

.
Dann läge aber

τ

im Zentrum von

G

.
Das Zentrum von

G

ist jedoch trivial, nämlich

{i d}

...

ermanus aktiv_icon

14:17 Uhr, 30.10.2020

Damit ist der Stabilisator von

(1^{} 2)

gleich

{i d, (1 2)}

.
also entsprechend die Stabilisatoren von

(1 3)

und

(2 3)

dann

{i d, (1 3)}

bzw.

{i d, 2 3)}

.
Fehlen noch die Stabilisatoren von

i d

und von

(1 2 3)

und

(1 3 2)

.

Vielleicht hilft auch folgende Bemerkung noch weiter:
in unserem Falle der Operation durch Konjugation ist
der Stabilisator eines Elementes

σ

gerade der
Zentralisator dieses Elementes, also die Untergruppe

G_{σ} = {τ ∣ τ σ = σ τ}

, d.h. die Menge aller mit

σ

vertauschbaren Elemente.

Master9362 aktiv_icon

14:25 Uhr, 30.10.2020

Achso ok, also soll ich dann mit jedem σ probieren ob es im Stabilisator lieget oder nicht!

Master9362 aktiv_icon

15:58 Uhr, 30.10.2020

Vielen Dank! :-)

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