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Stabilität stationärer Lösungen

Universität / Fachhochschule

22:23 Uhr, 27.01.2014

Hallo

Ich habe folgende Dgl:

x' = λ x - x^{2}

stationäre Punkte sind trivialerweise:

x_{1} = 0, x_{2} = λ

für

x_{1}

erhält man die linearisierte Dgl:

ε' = λ ε \Rightarrow ε (t) = ε_{0} e^{λ t}

Man erhält also für

λ < 0

eine stabile und für

λ > 0

eine instabile Lösung.

Für

x_{2}

soll die linearisierte Dgl anscheinend wie folgt aussehen:

ε' = - λ ε

Ich sehe nicht ein wieso die rechte Seite negativ ist. Kann mir das vielleicht jemand sagen?

09:09 Uhr, 28.01.2014

Hallo,

wie stellt man denn die linearisierte Gleichung auf?

Gruß pwm

15:52 Uhr, 28.01.2014

Also so wie ich das verstanden habe, behandelt man

x'

wie eine Funktion

x' = f (x)

und ermittelt im allgemeinen mittels Taylorentwicklung die lilneare Approximation um den Fixpunkt

x_{0}

oder?

Im ersten Fall wäre das ganz einfach:

f (x) = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0}) = 0 + (λ - 0) (x - 0) = λ x

Im zweiten Fall erhalte ich:

f (x) = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0}) = 0 + (λ - 2 λ) (x - λ) = - λ x + λ^{2} \neq - λ x

Vermutlich ists nur ein blöder Flüchtigkeitsfehler aber ich habs jetzt schon drei mal überprüft. Hab ich da vielleicht was falsch verstanden?

12:02 Uhr, 30.01.2014

Hallo,

es ist doch

ε = x - x_{0} = x - λ,

also alles gut.

Gruß pwm

15:05 Uhr, 30.01.2014

Ach so. Das macht Sinn. Ich hab das

ε

fälschlicherweise als

x

antstatt

x - x_{0}

betrachtet. Danke

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