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Standardbasis durch Vektoren darstellen

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Tags: Skalarprodukt, Standardbasis, Vektorraum

anonymous

21:43 Uhr, 21.03.2015

Hey,

ich sitze gerade vor einpaar Matheaufgaben und komme bei einer davon nicht weiter. Ich hoffe mir kann jemand von euch helfen :-)

Aufgabe:
"Es sind die Vektoren

v_{1}, v_{2}

und

v_{3}

(R³) gegeben. Überprüfen Sie, dass diese Vektoren paarweise orthogonal sind. Nutzen Sie diese Eigenschaft, um die Standardbasis durch diese Vektoren darzustellen."

Vektoren waren gegeben und ich habe die Orthogonalität überprüft

(\to

alle orthogonal). Habe die Werte für die Frage entfernt, weil ich eigentlich nur wissen, was ich vom Prinzip her als nächstes machen muss. Komme bei der nächsten Teilaufgabe nicht weiter. Ich weiß nicht, wie diese Standardbasis dargestellt durch die Vektoren überhaupt aussehen soll und wie ich dafür die Eigenschaft der Orthogonalität nutzen soll. (Falls doch die Werte der Vektoren benötigt werden, bitte Bescheid sagen)

Hat jemand Tipps/Denkanstöße für mich?

: (

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

23:59 Uhr, 21.03.2015

Hallo
du sollst die Standardbasis

(1,0,0)

usw als Linearkombination diese 3 darstellen.
Gruß ledum

anonymous

09:55 Uhr, 22.03.2015

Zunächst mal danke ledum für den Tipp. Habe die drei Einheitsvektoren inzwischen als Linearkombination aus den drei gegebenen Vektoren darstellen können. Nur habe ich mir die jeweiligen Werte mit Hilfe eines Linearen Gleichungssystems berechnet und die erwähnte Eigenschaft aus der Aufgabenstellung überhaupt nicht genutzt. Mache ich mir damit die Aufgabe schwerer als sie ist? Aber ich sehe immer noch nicht, wie ich diese Eigenschaft nutzen soll.

Falls es bei der Erklärung hilft, hier mal die drei Vektoren:

v_{1} = (4, 4, - 2), v_{2} = (4, - 2, 4)

und

v_{3} = (- 2, 4, 4)

Shipwater aktiv_icon

10:30 Uhr, 22.03.2015

Es gilt

e_{i} = \frac{〈 v_{1}, e_{i} 〉}{〈 v_{1}, v_{1} 〉} v_{1} + \frac{〈 v_{2}, e_{i} 〉}{〈 v_{2}, v_{2} 〉} v_{2} + \frac{〈 v_{3}, e_{i} 〉}{〈 v_{3}, v_{3} 〉} v_{3}

für

i \in {1,2,3}

Siehe: de.wikipedia.org/wiki/Orthonormalbasis#Koordinatendarstellung_bez.C3.BCglich_einer_Orthonormalbasis
Und beachte, dass du aus deiner "Orthogonalbasis" durch Normieren sofort eine ONB bekommst.
Die Koeffizienten der Linearkombination kannst du also sofort über die Skalarprodukte (siehe oben) errechnen und musst kein Gleichungssystem lösen, wenn eine Basis von paarweise orthogonalen Vektoren vorliegt.
Speziell in deiner Aufgabe ergibt sich zum Beispiel

\frac{〈 v_{1}, e_{1} 〉}{〈 v_{1}, v_{1} 〉} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}, \frac{〈 v_{2}, e_{1} 〉}{〈 v_{2}, v_{2} 〉} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

und

\frac{〈 v_{3}, e_{1} 〉}{〈 v_{3}, v_{3} 〉} = \frac{- 2}{36} = - \frac{1}{18}

also:

e_{1} = \frac{1}{9} v_{1} + \frac{1}{9} v_{2} - \frac{1}{18} v_{3}

Für die anderen Standardbasisvektoren geht es analog.

anonymous

11:55 Uhr, 22.03.2015

Danke Shipwater, die Formel kannte ich noch nicht. Wird mir in Zukunft sehr weiterhelfen :-)

Shipwater aktiv_icon

12:55 Uhr, 22.03.2015

Viel Erfolg weiterhin.

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