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Statistik: Normalverteilung beim Geigerzähler
Universität / Fachhochschule
Tags: Gausssche Glockenkurve, Normalverteilung
 
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Hallo, Zunächst mal möchte ich um Nachsicht bitten, falls ich Dinge falsch wiedergebe, ich verstehe nicht viel von Mathe. Ich habe einen stationären Geigerzähler eine Weile lang laufen lassen und dessen Anzahl Zählimpulse pro Minute aufgezeichnet. Zunächst hatte ich erwartet, dass die Werte einer Normalverteilung folgen, was sich aber recht schnell als falsch erwiesen hat: die Kurve ist nicht symmetrisch. Wenn man Mittelwert und Standardabweichung aus den Werten berechnet, dann kommen . die Werte bei +1σ häufiger vor als bei -1σ. Ich habe das Histogramm angefügt, wo die Verteilung ersichtlich ist (Mittelwert ist und Standardabweichung . Ich nehme an, diese Asymmetrie ist dadurch begründet, dass der Geigerzähler keine negativen Werte produzieren kann, die Wahrscheinlichkeit in Richtung Null also abnimmt. Verstehe ich das richtig? Wie kann ich nun ausrechnen, wie viel σ ein Messwert von . entspricht? Irgendwie muss sich diese "Schiefe" doch kompensieren lassen?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo der radioaktive Verfall folgt einer Poissonverteilung , nicht der Normalverteilung. allerdings nähert sich das für große Zählraten einer Normalverteilung, siehe wiki unter Poissonverteilung -Beziehung zur Normalverteilung für die Rechnung für sollte aber bei die Normalverteilung ok sein. Gruß ledum |
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Mit der Normalverteilung kommt es zwar ungefähr hin, aber für meine Zwecke ist es zu wenig genau. Die Häufigkeit von Werten unter dem Mittelwert ist immer unterbewertet und die Häufigkeit von Werten über dem Mittelwert überbewertet. Ich habe vor einiger Zeit mal versucht, die Wahrscheinlichkeit mit der Poisson-Verteilung zu berechnen und das ergab dann eine noch viel grössere Abweichung. Aber dabei muss mir wohl ein Fehler unterlaufen sein, denn die Poisson-Verteilung ergibt tatsächlich mehr Sinn. Damals habe ich gerechnet wie bei Wiki angegeben: Messwert=x Mittelwert= Wahrscheinlichkeit Aber bei dieser Formel ist das Spektrum der Messwerte überhaupt nicht berücksichtigt, also fehlt irgendwas. Wenn mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben könne, wäre ich dankbar. |
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Eigentlich wissen wir ja nicht, was du berechnen möchtest und wie du Genauigkeit definierst. Da Messfehler und -ungenauigkeiten nie ganz auszuschließen sind, wirst du nie eine passende Verteilung anpassen können. Wenn die Schiefe für dich so relevant ist und die Nicht-Existenz negativer Werte und wenn du eine stetige Verteilung (der an sich korrekten Poissonverteilung) vorziehst, könntest du auch versuchen, eine Weibull-Verteilung zu fitten. Das ist, so wie die Normalverteilung, eine stetige Verteilung, hat aber in ihrer allgemeinen Form andere "Stellparameter". Siehe en.wikipedia.org/wiki/Weibull_distribution Wenn du nun durch ersetzt kannst du mit der Kurve auch noch horizontal spazieren fahren, was in deinem Fall aber vermutlich nicht nötig sein wird. Wenn du deine Daten in eine bequem zugänglichen Form (also nicht hier ;-) zur Verfügung stellst, wird sich vielleicht jemand finden, der ein paar Anpassungen versucht. |
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Was ich möchte: Mein Script gibt die Wochenhöchst- und tieftstmesswerte aus. Ich möchte nun bestimmen, wie oft statistisch diese Werte zu erwarten sind, basierend auf den während einem Jahr gesammelten Messwerten. Idealerweise kommt dabei heraus, dass der Wochenhöchstwert einmal pro 7 Tage (Bzw. einmal pro Messwerte) zu erwarten wäre und das gleiche für den Wochentiefstwert. Ein Beispiel aus der Praxis von dieser Woche sieht dann aber anders aus; der tiefste Wert war 60CPM, der höchste Wert 143CPM. Laut Normalverteilung tritt der tiefste Messwert alle Tage auf (-2,93σ), solche Werte sind aber in der Praxis seltener zu erwarten. Und der höchste Wert alle Tage (+4,28σ), solche Werte sind aber in der Praxis häufiger zu erwarten. Eine ähnliche Verschiebung ist jede Woche vorhanden, nicht nur diese. Mit der Poisson-Verteilung (Meine Formel berücksichtigt die Varianz gar nicht?) komme ich auf eine Häufigkeit des Tiefstwertes alle Tage und des Höchstwertes alle Tage. Irgendwas fehlt bei meiner Poisson-Wahrscheinlichkeitsrechnung, aber was? |
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Ich weiß nicht, wie du mit mit den Werten, deren Histogramm du gepostet hast, auf die Auftrittsfrequenzen gekommen bist. Jedenfalls scheint mir eine Normalverteilung nicht so schlecht ins Bild zu passen (siehe Anhang). Beachte aber, dass bei stetigen Verteilungen die Werte der Dichtefunktion KEINE Wahrscheinlichkeiten sind! Die Poissonverteilung hat in der Tat nur einen Parameter und der ist Mittelwert und Varianz zugleich. Wenn du also deinen Mittelwert als Parameter zugrunde legst, dann erhältst du eine Standardabweichung . Also deutlich weniger als dein Stichproben . Mit anderen Worten - die zugehörige Kurve wird zu schmal sein (siehe zweites Bild).   |
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Auf die Auftrittsfrequenz bin ich gekommen, indem ich über die Perzentile berechnet habe. Bei deinem Modell mit der Normalverteilung schaut das ja wirklich sehr passend aus, eventuell ist mir bei der Berechnung der Perzentile ein Fehler unterlaufen (oder ich habe ein grundsätzliches Verständnisproblem). |
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Auf die Auftrittsfrequenz bin ich gekommen, indem ich über σ die Perzentile berechnet habe. Du hast eine NV mit und . Was genau hast du da also und wie berechnet? Du kannst dir mit der NV zB die WKT dafür ausrechnen, dass die Anzahl der Ausschläge in der nächsten Minute im Bereich von bis liegen. Ich weiß auch nicht, ob wir unter Perzentil das Gleiche verstehen. Für mich ist zB das Perzentil jener Wert (Anzahl von Ausschlägen pro Minute), unter dem aller Werte liegen. Also eine spezielle Spielart der Quantile. Das ist das 0,8-Quantil . Vermutlich meinst du etwas anderes, wenn du "über σ die Perzentile berechnet" formulierst. Speziell für die NV gilt, dass rund aller Werte in einem Intervall der Breite um den Mittelwert liegen, bei dir also der Bereich von bis Schläge pro Minute. Oder dass rund aller Werte unter liegen. ist also das 0,841-Quantil und liegt zwischen dem . und . Perzentilen. Du könntest auch der Sache nachgehen, warum deine Messungen so deutlich von einer Poissonverteilung abweichen, dann es müsste sich ja zumindest annähernd einstellen. |
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