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Steckbriefaufgabe (komplex)
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Halbgeraden, Übergangsbogen
 
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Hi, ich habe hier eine Steckbrief-Textaufgabe vor mir liegen und brauche Hilfe.
Hier der Text: Eine ganrationale Funktion ist so zu bestimmen, dass ihr Graph einen Übergangsbogen zwischen zwei Halbgeraden bildet. Der Grad von soll möglichst klein sein. Der Graph von soll an den Anschlusspunkten keinen "Knick" aufweisen. Präzisiere diese Forderung mathematisch und bestimme dann soll an den Anschlussstellen in der ersten UND zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimme Anschlusspunkte: Mir geht es nicht darum, dass ihr die Aufgabe ausrechnet. Steckbriefaufgaben kann ich normalerweise locker, aber hier komm ich echt nicht drauf! |
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Ich habe glaub ich gelöst. Wenn die Steigung in der Anschlussstelle 0 ist, ist kein Knick vorhanden, so steht es zumindest auf ein paar seiten vor der Aufgabe im Buch. Die Frage ist warum das so ist, was genau hat die Steigung also mit dem "knick" zu tun??? |
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Die Steigung MUSS an diesen Stellen nicht unbedingt null sein, das ist nur dann der Fall wenn die beiden Geraden waagerecht verlaufen. Allgemein kann man sagen, dass genau dann ein knickfreier Übergang zwischen den beiden Geraden vorliegt wenn dieser Übergang tangential verläuft, also die Geraden quasi als Tangenten an den Graphen des gesuchten Funktionsterms fungieren oder mit anderen Worten dass die Steigung des Graphen der Steigung der Geraden an den entsprechenden Knickstellen entspricht. Die 1. Ableitung gibt immer die Steigung des Graphen an einer bestimmten Stelle an und mit den 2 Punkten die auf dem Graphen liegen müssen zuzüglich der 2 Steigungen kommt man dann auf 4 Bedingungen, also 4 Gleichungen, was dann für einen bestimmten Grad der Funktion spricht. |
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Bei meiner Aufgabe ist das leider nicht der Fall, den eine Halbgerade hat die Steigung 1 und die andere ist also waagerecht. Wenn ich dich richtig verstanden habe, müssen die Halbgeraden sozusagen tangenten des gesuchten Graphen sein. Ich verstehe jetzt allerdings nicht, inwiefern ich dadurch die 4 benötigten Informationen erhalten kann.
Okay ich schreibe mal die Bedingungen für Aufgabe a raus: Anschlussstellen: das heißt ich habe 2 Bedingungen, da beide Punkte zwangsläufig auf dem graphen liegen müssen. also : |
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Du hast ja die beiden Punkte gegeben durch welche der Graph auf jeden Fall verlaufen soll, also diese Anschlusspunkte. Wenn ein Punkt P(a|b) auf dem Graphen einer Funktion f liegt dann muss ja f(a)=b gelten. Damit hast du dann schonmal 2 Gleichungen. Und nun kannst du noch durch die Steigung der gegebenen Halbgeraden dann auch noch 2 Gleichungen mittels der 1. Ableitung aufstellen denn der Graph muss ja wie gesagt an diesen Anschlusstellen dieselbe Steigung wie die jeweilige Gerade besitzen, in welche er mündet. Denn nur dann gibt es diesen schnörkellosen nahtlosen Übergang ohne irgendeinen Knick. |
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Ich hab mal eben die Funktionsgleichung der beiden Halbgerade errechnet: und Anschlusspunkt von ist Anschlusspunkt von ist Deine Erklärung habe ich so verstanden, dass die Steigung der Geraden, der Steigung im Punkt des Graphen entsprechen muss, wo der Graph die Anschlussstellen berührt. Da die Halbgeraden ja linear sind, haben sie in jedem Punkt die gleiche Steigung, also bei und bei . Das bedeutet, dass ich 4 Informationen erhalte. da Steigung da Steigung 0(waagerecht)) Das würde bedeuten, dass ich eine Funktion dritten Grades habe und ich einfach nur die gegeben Bedingungen in ein LGS einsetzen muss. ist das so richtig? |
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Dass mit dem 3. Grad stimmt. Wenn g1(x)=x+1 und g2(x)=x gilt dann haben aber doch beide Geraden dann die Steigung 1. |
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Ich meine, dass die die Steigung 1 hat, da die Punkte und draufliegen.
Das bedeutet ja: Ups, tut mir leid, die eine Gleichung also ist nicht sondern das erklärt auch, dass sie wagerecht ist, das wäre sie mit wie du schon sagtest ja nicht die 3 war nen tippfehler, tschuldigung xD es ist schon spät :-) |
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Wie kommst du denn jetzt auf 3 ? 1 ist richtig. |
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Alles klar dann stimmen deine Bedingungen und mit den Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d erhälst du dann ein LGS mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten. Bei b) kriegst du dann noch 2 Gleichungen mehr ins Spiel und damit dann auch 2 Grade mehr ;-) |
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So habe das Lösungsgleichungssystem jetzt aufgestellt und alles fein säuberlich aufgeschrieben. Lösen tue ich das gleich, hab leider noch keinen GTR . Soweit ich das bei verstanden habe, muss ich jetzt einfach noch die 1. und 2. Ableitung einer Funktion 5. Grades bilden und dann die 1. UND 2. Ableitung mit der Steigung des jeweiligen Graphens gleichsetzen. Woraus sich ergibt:
ax^5 bx^4 cx^3 cx 5ax^4 4bx^3 3cx^2 20ax^3 12bx^2 6cx also: richtig? :-) |
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f''(1) muss ebenfalls null sein, da die 2. Ableitungen von g1 und g2 als lineare Funktionen zwangsweise null für alle x sind weil die 1. Ableitung ja schon konstant ist und nochmal abgeleitet wird das dann null. |
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Achsooo, das heißt, ich muss auch die 2. Ableitung der Graphen bilden. Dann wäre ja allerdings die 1. ableitung bei oder?
quatsch, die erste ableitung ist ja gleich der steigung in einem punkt und die ist bei linearen gleichungen ja immer gleich. das heißt dass es ab der 2. ableitung 0 ist, habs verstanden, danke! ist es ansonsten richtig? |
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Ja ansonsten passt alles würde ich sagen, es kommen halt nur noch 2 Bedingungen zu den vorigen Bedingungen dazu um damit evtl einen noch "schöneren" Übergang zu erzeugen. |
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stimmt, das ist aufgabe welcher der beiden übergänge bei straßen sinnvoller wären. hab leider kein gtr deswegen kann ich das nicht nachvollziehen. kannst du mir das evtl einfach kurz erläutern? |
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Naja war jetzt auch nur ne Vermutung, die Graphen selbst habe ich auch nicht vor Augen und das jetzt alles auszurechnen da bin ich ehrlich gesagt zu müde für ;-) Wenn die 2. Ableitungen an den beiden Anschlussstellen zusätzlich null sind, sind das ja gleichzeitig die Wendestellen des Graphen der Funktion 5. Grades. An Wendestellen ist die Steigung der Graphen ja immer am größten oder kleinsten. Vielleicht geht es bei dir ja auch um eine Anwendungsaufgabe wo man 2 gerade Straßenstücke durch eine Umgehungsstraße verbinden soll oder sowas und dann könnte es aus praktischen Gründen vielleicht auch nicht mehr so sinnvoll sein dass gerade an den Wendestellen der Übergang ist, die ganze Umgehungs- bzw Verbindungsstraße dann zu steil oder zu lang wird bzw unpraktikabel von der Streckenführung wird. Das wäre dann alternativ eine Argumentation die eher die 1. Möglichkeit in a) vorzieht. Wie gesagt das sind alles nur Vermutungen und ohne die genaue Aufgabe zu kennen bzw die Graphen zu sehen kann ich da nicht mehr tun ;-) |
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ok, dann ist alles geklärt. Ich danke dir vielmals für deine Mühe. Ich kann leider nur ankreuzen, dass du mir "gut" geholfen hast, "sehr sehr gut" würde es eher treffen. Hoffentlich freut sich meine Lehrerin morgen, ich werd versuchen das vorzutragen, hat wahrscheinlich sowieso kaum ein Anderer rausbekommen, zumal die Lehrerin meinte, dass die Aufgabe schon knifflig sei. Mathe-LK in der ist schon blöd, da muss man bis 1 Uhr nachts Hausaufgaben machen :-D)
Naja, Gute Nacht und nochmals Danke, ich glaub meine gute mündliche Note hab ich bald ausschließlich dir zu verdanken xD |
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Hier kann man was ankreuzen zur Bewertung oder war das nur sone Floskel von dir ? Wünsche dir auch ne gute Nacht und viel Erfolg morgen beim Vortragen =) |
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Ja, wenn man oben bei Antwort "Diese Frage ist beantwortet" anklickt, dann kann ich ankreuzen, ob die letzte Antwort mir gut, in teilen, wenig oder gar nicht geholfen hat. |
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Ach guck an, wusst ich gar nicht...schon immer ? |
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Weiß nicht, bin ja erst vor 3 Wochen auf dieses Forum gestoßen :-D) |
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Hehe nagut, werd ich mal nachfragen beim Forenboss weil das ist bestimmt nur ne Info für die Administratoren selbst, weil im Beitrag selbst sieht man davon ja eh nichts. Also dann nochmal viel Erfolg morgen, kannst ja später mal schreiben ob das alles soweit richtig war. |
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