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Steckbriefaufgabe mit e-Funktionen

Schüler

Tags: e-Funktion, Steckbriefaufgabe

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23:16 Uhr, 09.02.2018

Hallo Zusammen,
Ich habe zuvor noch nie Steckbriefaufgaben mit e-Funktionen in der Schule gehabt. Allerdings kommt das jetzt in der nächsten Klausur vor und zwar im hilfsmittelfreien wie auch im Teil mit Hilfsmittel vor. Nun habe ich die Aufgabe berechnet und eine Matrix aufgestellt, komme jedoch ohne Taschenrechner nicht auf den Koeffizienten a. Der Taschenrechner zeigt mit für a= unendlich viele Lösungen an. Meine Frage ist also, ob man den Koeffizienten a auch ohne Taschenrechner berechnen kann?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

00:05 Uhr, 10.02.2018

Das hängt von der Aufgabe ab.

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00:22 Uhr, 10.02.2018

f(x) =

(a x^{2} + b x + c) \times e^{-} x

Die Potenz der e-Funktion lautet: e hoch -x

Gegeben: an der Stelle 2 einen Hochpunkt und die x-Achse im Koordinatenursprung berührt

Matrix
b+c=0
-b+c=0
c=0
Also müssen b und c beide 0 sein

Respon

00:31 Uhr, 10.02.2018

Das ist korrekt.

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00:32 Uhr, 10.02.2018

Und wie komme ich jetzt ohne Taschenrechner auf a?

Respon

00:34 Uhr, 10.02.2018

Schreib dir die Berechnungsgleichung für a auf und interpretiere.

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00:46 Uhr, 10.02.2018

Wäre die berechnungsgleichung dann:
f(x)=

a x^{2} \times e^{-} x = 0 ?

Respon

00:48 Uhr, 10.02.2018

Nein, das ist die Ausgangsfunktion ( mit

b = c = 0)

Du hast an der Stelle

x = 2

einen Hochpunkt, also brauchst du die erste Ableitung.

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00:53 Uhr, 10.02.2018

f'(x) =

((2 a x + b) \times e^{-} x) + ((a x^{2} + b x + c) \times (- e^{-} x)

f'(x)=

- e^{-} x \times (a x^{2} - 2 a x + b x - b + c)

Verstehe aber jetzt immernoch nicht was ich damit machen soll

Respon

00:58 Uhr, 10.02.2018

b

und

c

können wir doch schon vergessen.

f (x) = a \cdot x^{2} \cdot e^{- x}

f' (x) = 2 \cdot a \cdot x \cdot e^{- x} + a \cdot x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)

f' (x) = e^{- x} \cdot (2 \cdot a \cdot x - a \cdot x^{2})

Laut Angabe muss gelten

f' (2) = 0

f' (2) = e^{- 2} \cdot (2 \cdot a \cdot 2 - a \cdot 2^{2})

\Rightarrow e^{- 2} \cdot (2 \cdot a \cdot 2 - a \cdot 2^{2}) = 0 \Rightarrow . .

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01:01 Uhr, 10.02.2018

Achso okay
Aber bei der letzten Gleichung löst sich a ja wieder auf (4a-4a =0)

Respon

01:03 Uhr, 10.02.2018

Wir haben

e^{- 2} \cdot (4 \cdot a - 4 \cdot a) = 0

Was bedeutet das für a ?

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01:04 Uhr, 10.02.2018

a löst sich auf oder nicht?

Respon

01:05 Uhr, 10.02.2018

Für welchen Wert von a ist diese Gleichung erfüllt ?

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01:07 Uhr, 10.02.2018

a=0 ?

Respon

01:07 Uhr, 10.02.2018

Was wäre mit

a = 1

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01:09 Uhr, 10.02.2018

Wieso denn 1? Das versteh ich jetzt nicht..

Respon

01:10 Uhr, 10.02.2018

Erfüllt

a = 1

die Gleichung

e^{- 2} \cdot (4 \cdot a - 4 \cdot a) = 0

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01:12 Uhr, 10.02.2018

Ach Moment,hatte einen Denkfehler
Dann kann man doch jede beliebige Zahl für a einsetzen, weil das in der Klammer immer 0 ergibt richtig?

Respon

01:13 Uhr, 10.02.2018

So ist es.
Allerdings - wie sieht denn der Graph deiner Funktion aus, wenn

a = b = c = 0

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01:24 Uhr, 10.02.2018

Das wäre ja dann nur

- e^{-} x

Also kommt der Graph von links unten und geht hoch nach rechts unten, schneidet dabei y=-1 und verläuft dann weiter in Richtung der x-Achse

Respon

01:27 Uhr, 10.02.2018

f (x) = (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) \cdot e^{- x}

a = b = c = 0

f (x) = (0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x + 0) \cdot e^{- x}

f (x) = 0 \cdot e^{- x}

f (x) = 0

Der Graph davon wäre die x-Achse.

Und jetzt musst du noch berücksichtigen, dass in der Angabe dezidiert von einem HOCHPUNKT gesprochen wurde.

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01:30 Uhr, 10.02.2018

Achja stimmt
Und was muss ich noch machen? Weil die Frage nach a hat sich ja erledigt. Dachte jetzt wäre die Aufgabe fertig

Respon

01:33 Uhr, 10.02.2018

Hochpunkt !
Mit

f' (x) = 0

könnte es ja auch ein Tiefpunkt sein.

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01:36 Uhr, 10.02.2018

Also nur noch prüfen ob der Hochpunkt wirklich ein Hochpunkt ist?
Das mach ich dann mit der 1. Und 2. Ableitung und dem Vorzeichen bzw. Vorzeichenwechsel richtig?

Respon

01:38 Uhr, 10.02.2018

Das war ein wenig konfus.
Wir haben an der Stelle