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Steckbriefaufgaben

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Steckbriefaufgaben

Pusselz aktiv_icon

23:07 Uhr, 12.02.2015

Guten Abend ich bin gerade am Lernen und komme nicht wirklich weiter bei 2 Aufgaben.

Die Aufgaben sind im Anhang wäre schön wenn mir so spät noch jemand helfen könnte.

lg

Meine Lösungsversuche sind auch dabei.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sams83 aktiv_icon

23:53 Uhr, 12.02.2015

Hallo,

sieht alles richtig aus. Wo "kommst Du nicht weiter"?

Gruß
Simone

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Pusselz aktiv_icon

23:56 Uhr, 12.02.2015

Das hat ein Freund von mir mit mir zusammen gemacht und die Schreibweise entsprach nicht der Schreibweise die uns beigebracht wurde ich verliere da irgendwie den überblick und kann deshalb nicht nachvollziehen ob es richtig oder falsch ist. Danke für die Antwort!!!

Pusselz aktiv_icon

00:02 Uhr, 13.02.2015

Hätte Sie evtl. noch eine klare und bessere Schreibweise?
Oder wäre das so spät zu viel Arbeit?

Ma-Ma aktiv_icon

00:02 Uhr, 13.02.2015

Zu Aufgabe

a)

Bedingungen sind richtig gesetzt.

Der Weg ist viel zu umständlich, es geht deutlich einfacher und schneller!
Symmetrie zur y-Achse ! Alle

x

mit ungeraden Exponenten fallen weg !

f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c

Ma-Ma aktiv_icon

00:06 Uhr, 13.02.2015

@Sams: Antwortest Du oder soll ich ?
LG Ma-Ma

- - - - - - - - - - - -

Nachtrag: Sams ist offline, also werd ich Dir noch ein paar Tipps geben.

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1. Frage an puzzle: Du kannst unterscheiden zwischen geraden Funktionen (Symmetrie zur y-Achse) und ungeraden Funktionen (Symmetrie zum Koordinatenursprung) ?

Pusselz aktiv_icon

00:11 Uhr, 13.02.2015

Ja das kann ich.

Ma-Ma aktiv_icon

00:12 Uhr, 13.02.2015

Gut.

Die aufgestellten Bedingungen könntest Du auch selber aufstellen (ohne Hilfe) ?

Pusselz aktiv_icon

00:15 Uhr, 13.02.2015

Nur zum Teil.

Bspw. Im Ursprung ein Sattelpunkt

\to f (0) = 0 \Rightarrow e = 0

Wieso wird das jetzt noch einmal in die erste und 2 Ableitung eingesetzt und man bekommt

d

und

c

heraus?

Ma-Ma aktiv_icon

00:21 Uhr, 13.02.2015

Zuerst vereinfachen wir mal die Funktion.
GERADE Funktion = Symmetrie zur y-Achse. (Alle Glieder mit UNGERADEN exponenten fallen weg.)

f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c

Ableitungen bilden:

f' (x) = 4 a x^{3} + 2 b x

f'' (x) = 12 a x^{2} + 2 b

Bis dahin klar ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sattelpunkt im Koordinatenursprung:

S (0 | 0)

f (0) = 0

Welche Bedingungen hat ein Sattelpunkt ?
Schlage Deine Formelsammlung auf, dort findest Du sie.

Frage: Hast Du ansonsten Deine FS benutzt oder eher nicht ?

Pusselz aktiv_icon

00:26 Uhr, 13.02.2015

Wir haben keine FS.

Aber das mit dem vereinfachen verstehe ich.

Ich frage mich nur wieso der Sattelpunkt

3 x

eingesetzt wird in

f (x)

f´(x) f´´(X)

Ma-Ma aktiv_icon

00:29 Uhr, 13.02.2015

Welcher Abiturient hat keine Formelsammlung ? Du bist auf einem OSZ ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Dann müsst Ihr doch ein Formelblatt mit den Angaben haben, welche Bedingungen für den Sattelpunkt gelten

. .

. Dein Freund muss die Bedingungen ja auch irdgendwo abgelesen haben

. .

gulirana aktiv_icon

00:30 Uhr, 13.02.2015

die 1.2. und die 3. Ableitung muss gleich sein, damit man sagen kann , dass es ein Sattelpunkt ist.

Wenn die 2. Ableitung gleich null ist, hat die Funktion einen Sattelpunkt.

gulirana aktiv_icon

00:31 Uhr, 13.02.2015

wenn die 2. Ableitung ungleich 0 wäre, dann ist ein Wendepunkt und kein Sattelpunkt.
Deswegen hat dein Freund die ersten drei Ableitungen 0 gesetzt.

Pusselz aktiv_icon

00:33 Uhr, 13.02.2015

Besuche momentan die Oberstufe einer HöHa.

Tut mir auch leid habe in der Unterrichtsreihe viel gefehlt aufgrund einer Mandel OP.

Scheint nicht wirklich Sinn zu haben mit mir hier, weil ich jedes Detail wissen muss.

Ma-Ma aktiv_icon

00:33 Uhr, 13.02.2015

@gulirana: Diese Infos (nur besser und konkreter) hst sie bereits

. .

Ma-Ma aktiv_icon

00:37 Uhr, 13.02.2015

@Pusselz: Du benötigst unbedingt ein Formelblatt, wo genau Dein Freund die Bedingungen abgelesen hat !
Frage ihn mal, woher er seine Bedingungen hat

. .

.

Natürlich kannst Du alle Bedingungen auch auswendig lernen, aber sicher nicht mehr heute nacht

. .

. (und es macht auch nicht wirklich Sinn)

. .

Pusselz aktiv_icon

00:37 Uhr, 13.02.2015

Wäre es aufwendig wenn Sie mir eine Musterlösung machen könnten? Dann könnte ich halt immer die beiden Aufgaben rechnen und meine Wissenslücken mit dem Internet stopfen und es erneut probieren. Dann hätte ich ja wenigstens die Gewissheit ob es richtig oder falsch ist wenn ich es Rechne.

Bin sehr dankbar für die Hilfsbereitschaft.

Ma-Ma aktiv_icon

00:39 Uhr, 13.02.2015

Jede Aufgabe ist anders, ohne Formelblatt geht garnichts ..

- - - - - -

Evtl. suchst Du Dir eine private Nachhilfe vor Ort (Student), damit kannst Du ganz schnell aufholen

. .

Pusselz aktiv_icon

00:41 Uhr, 13.02.2015

Ich werde mir eine FS besorgen.

Mit der Lösung könnte ich schon mal die beiden Aufgaben typen lernen.

gulirana aktiv_icon

00:42 Uhr, 13.02.2015

Falls du keine FS hast kannst du dir die Seite anschauen, da stehen alle Formeln zu einer Kurvendiskussion.
Da kannst du auch die einzelnen Formeln entnehmen.

http//de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Ma-Ma aktiv_icon

00:45 Uhr, 13.02.2015

Gut. Also meine FS sagt zum Sattelpunkt

f' (x) = 0

und

f'' (x) = 0

Genau das hat Dein Freund auch benutzt.

- - - - - - - - - - - - - -

Damit haben wir:

S (0 | 0)

f (0) = 0

II)

f' (0) = 0

III)

f'' (0) = 0

Steigungshinweis

IV)

f' (2) = 4

- - - - - - - - - - - -

Nun fange an und arbeite sauber ab

. .

Ma-Ma aktiv_icon

00:49 Uhr, 13.02.2015

@gulirana: Deine Antworten

"die

1.2

. und die 3. Ableitung muss gleich sein, damit man sagen kann , dass es ein Sattelpunkt ist.
Wenn die 2. Ableitung gleich null ist, hat die Funktion einen Sattelpunkt."

sind sinnfrei (und das ist noch höflich ausgedrückt).

Ma-Ma aktiv_icon

00:57 Uhr, 13.02.2015

Nun, was ist ? Wo sind Deine Antworten ?

Ich fange mal an:
I)

f (0) = 0

0 = a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c

c = 0

- - - - - - - - - - - -

II)

f' (0) = 0

0 = ... . .

. ?

Pusselz aktiv_icon

01:12 Uhr, 13.02.2015

Entschuldigen Sie die verspätete Antwort auf meine Frage es gab Probleme mit dem Log in.

Ich schaffe es heute nicht mehr Stück für Stück heute die Aufgabe durch zu gehen desegen kann ich nur erneut um eine Musterlösung fragen habe aber vollstes Verständnis wenn sie dazu keine Lust haben. Danke für die Antworten eine schöne Nacht wenn sie später schlafen.

Pusselz aktiv_icon

01:12 Uhr, 13.02.2015

Bummerang

10:23 Uhr, 13.02.2015

Hallo,

ich will das ganze Durcheinander mal zusammenfassen:

1. Du benötigst sicher Nachhilfe!

2. Sicher ist http//de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion auch eine Hilfe!

3. Hast Du eigentlich Lösungen, die durchaus als Muster für Dich dienen können. Sie sind auch (fast) richtig!

Du hast bemängelt, dass Du mit der Dir vorliegenden Lösung nicht zurecht kommst, da sie dem Dir bekannten Muster nicht entspricht. Natürlich hat Ma-Ma recht, wenn sie schreibt, dass jede Aufgabe anders ist, aber ein paar Grundzüge kann man sich doch fest einprägen:

1. Aufgabe lesen und den Text in mathematische Bedingungen umwandeln:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

[f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e]

ist symmetrisch zur y-Achse

[b = d = 0 \Rightarrow f (x) = a \cdot x^{4} + c \cdot x^{2} + e]

. Im Koordinatenursprung

[f (0) = 0]

besitzt er einen Sattelpunkt

[f' (0) = 0, f'' (0) = 0]

. An der Stelle 2 hat der Graph die Steigung

+ 4 [f' (2) = 4]

.

2. Funktionsterm und alle benötigten Ableitungen bilden:

f (x) = a \cdot x^{4} + c \cdot x^{2} + e

f' (x) = 4 \cdot a \cdot x^{3} + 2 \cdot c \cdot x

f'' (x) = 12 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot c

3. Einsetzen der im Text gefundenen Bedingungen in die Funktions- und Ableitungsterme:

f (0) = 0 = a \cdot 0^{4} + c \cdot 0^{2} + e = e \Rightarrow e = 0

f' (0) = 0 = 4 \cdot a \cdot 0^{3} + 2 \cdot c \cdot 0

trivialerweise erfüllt!

f'' (0) = 0 = 12 \cdot a \cdot 0^{2} + 2 \cdot c = 2 \cdot c \Rightarrow c = 0

f' (2) = 4 = 4 \cdot a \cdot 2^{3} + 2 \cdot 0 \cdot x = 4 \cdot a \cdot 8 = 32 \cdot a \Rightarrow 32 \cdot a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{8}

4. Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen:

Im Allgemeinen entsteht unter 3. ein lineares Gleichungssystem, das man lösen muss, dass es hier so schnell und ohne großen Rechenaufwand ging ist erfreulich, aber für eine Musterlösung schlecht!

5. Lösung einsetzen:

f (x) = \frac{1}{8} \cdot x^{4}

So weit ist Dein Freund auch gekommen, jetzt aber zieht er den falschen Schluss, weil er den letzten Punkt dieses Schemas nicht kennt oder nicht berücksichtigt hat.

6. Lösung überprüfen:

Dein Freund denkt, dass das die Lösung sei, aber wenn Du den Graph dieser Funktion kennst (wenn Du ihn nicht kennst, dann skizziere ihn Dir mal), dann siehst Du natürlich, dass dort im Koordinatenursprung kein Sattelpunkt ist! Das liegt daran, dass die Bedingungen

f (x) = f' (x) = f'' (x) = 0

zwar notwendig, aber nicht hinreichend sind! Eine hinreichende Bedingung wäre, dass

f''' (0) \neq 0

ist. Aber diese Bedingung hat man zum Errechnen der Funktion nicht benutzt, weil diese schwer in den Berechnungen handhabbar sind. Und wenn Du es nachprüfst,

f''' (0) = 24 \cdot a \cdot 0 = 0, d . h

. die hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt. Die Lösung dieser Aufgabe lautet also:

Es gibt keine Funktion 4. Grades, die alle angegebenen Bedingungen erfüllt!

Soweit die Lösung nach Standard-Schema-F.

Dieses hätte man auch viel schneller haben können, wenn man richtig liest: Eine zur y-Achse symmetrische Funktion ist eine Funktion, die an der

y

.Achse gespiegelt wird. Eine solche Funktion kann nicht um den Schnittpunkt mit der y-Achse herum (mathematisch: in einer hinreichend kleinen Umgebung um

x = 0)

auf der einen Seite nur positive Werte und auf der anderen Seite nur negative Werte haben, wie das bei einem Sattelpunkt sein muss! Sie kann dort nur auf beiden Seiten positive oder auf beiden Seiten negative Werte haben und dann ist dort eine lokale Extremstelle. Von den symmetrischen Funktionen können nur Funktionen, die zu einem Punkt auf der y-Achse symmetrisch sind bei

x = 0

einen Sattelpunkt haben.

Fazit: Mit etwas Überlegung hätte man sich alle Rechnerei sparen können und wenn man denn doch gerechnet hat, sollte man am Ende überprüfen, ob das errechnete Ergebnis auch allen Anforderungen genügt. Zumindest für den letzten Punkt, warum man die Ergebnisse überprüfen sollte, ist diese aufgabe ein gutes Lehrbeispiel!

Jetzt die zweite Aufgabe nach dem selben Schema:

1. Aufgabe lesen und den Text in mathematische Bedingungen umwandeln:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades

[f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d]

berührt die x-Achse im Punkt

P (3 | 0) [f' (3) = 0, f (3) = 0]

. Die y-Achse wird bei

- 1

geschnitten

[f (0) = - 1]

und bei

x = 1

besitzt der Graph keine Krümmung

[f'' (1) = 0]

.

2. Funktionsterm und alle benötigten Ableitungen bilden:

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

f' (x) = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c

f'' (x) = 6 \cdot a \cdot x + 2 \cdot b

3. Einsetzen der im Text gefundenen Bedingungen in die Funktions- und Ableitungsterme:

f' (3) = 0 = 3 \cdot a \cdot 3^{2} + 2 \cdot b \cdot 3 + c = 27 \cdot a + 6 \cdot b + c \Rightarrow 27 \cdot a + 6 \cdot b + c = 0

f (3) = 0 = a \cdot 3^{3} + b \cdot 3^{2} + c \cdot 3 + d = 27 \cdot a + 9 \cdot b + 3 \cdot c + d \Rightarrow 27 \cdot a + 9 \cdot b + 3 \cdot c + d = 0

f (0) = - 1 = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d = d \Rightarrow d = - 1

f'' (1) = 0 = 6 \cdot a \cdot 1 + 2 \cdot b = 6 \cdot a + 2 \cdot b \Rightarrow 6 \cdot a + 2 \cdot b = 0

4. Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen:

27 \cdot a + 6 \cdot b + c = 0

27 \cdot a + 9 \cdot b + 3 \cdot c + d = 0

d = - 1

6 \cdot a + 2 \cdot b = 0

Als erstes sieht man, dass man die dritte Gleichung in die anderen Gleichungen einsetzen kann und in dieser dritten GLeichung bereits die erste Lösung steht, so dass man nach dem Einsetzen diese Gleichung nicht weiter benötigt. Das ergibt folgendes neues, reduziertes Gleichungssystem:

27 \cdot a + 6 \cdot b + c = 0

27 \cdot a + 9 \cdot b + 3 \cdot c = 1

6 \cdot a + 2 \cdot b = 0

Einen Lösung für solch ein Gleichungssystem zu finden, kannst Du jedes Dir dafür bekannte Verfahren anwenden. Das Ergebnis ist:

a = - \frac{1}{27}

b = \frac{1}{9}

c = \frac{1}{3}

5. Lösung einsetzen:

f (x) = - \frac{1}{27} \cdot x^{3} + \frac{1}{9} \cdot x^{2} + \frac{1}{3} \cdot x - 1

6. Lösung überprüfen:

Alle vorgegebenen Bedingungen sind erfüllt, man prüft schnell nach, dass neben der doppelten Nullstelle

x = 3

noch die Nullstelle

x = - 3

existiert. Damit ist

x = 3

keine dreifache Nullstelle und kann somit kein Sattelpunkt sein, für den ja auch gelten würde, dass

f (3) = f' (3) = 0

ist, aber bei einem Sattelpunkt liegt keine Berührung (und die war ja gefordert) vor! Eine kurze Skizze zeigt, dass diese Lösung korrekt ist.

Aber auch hier kann man mit etwas Überlegung schneller zum Ziel kommen:

Man kennt die doppelte Nullstelle

x = 3

und man weiss, dass die gesuchte Funktion damit noch genau eine weitere reelle Nullstelle haben muss (nichtreelle Nullstellen treten immer paarweise auf,

d . h

. zu jeder komplexen Nullstelle

z

gibt es noch eine komplexe Nullstelle

\bar{z},

wobei

\bar{z}

die konjugiert komplexe Zahl von

z

ist. Auch bei der Vielfachheit gilt, dass wenn

z

eine n-fache Nullstelle ist, dann ist

\bar{z}

ebenfalls n-fache Nullstelle. Damit is die Differenz aus Grad der ganzrationanlen Funktion und Anzahl der reellen Nullstellen immer eine gerade Zahl. Kennt man von einer ganzrationalen Funktion vom Grad

n

(hier Grad

3)

bereits

k

Nullstellen (hier

k = 2)

und ist

n - k

ungerade (hier

3 - 2 = 1

ist ungerade), dann gibt es noch mindestens eine weitere reelle Nullstelle (da hier mit einer weiteren Nullstelle die dritte Nullstelle gemeint ist und wegen des Grades 3 maximal 3 reelle Nullstellen existieren können, ist es sogar genau eine weitere reelle Nullstelle). Deshalb kann man hier mit der dritten Nullstelle

x_{3}

den Ansatz machen:

f (x) = a \cdot {(x - 3)}^{2} \cdot (x - x_{3})

f' (x) = 2 \cdot a \cdot (x - 3) \cdot (x - x_{3}) + a \cdot {(x - 3)}^{2};

abgeleitet nach Produkt- und Potenzregel

f'' (x) = 2 \cdot a \cdot (x - 3) + 2 \cdot a \cdot (x - x_{3}) + 2 \cdot a \cdot (x - 3);

abgeleitet nach Produkt- und Potenzregel

f'' (x) = 4 \cdot a \cdot (x - 3) + 2 \cdot a \cdot (x - x_{3});

einfach zusammengefasst

Jetzt setzt man die Bedingungen ein und da fangen wir mal mit der Bedingung an, die zur zweiten Ableitung gehört:

f'' (1) = 0 = 4 \cdot a \cdot (1 - 3) + 2 \cdot a \cdot (1 - x_{3}) = - 8 \cdot a + 2 \cdot a - 2 \cdot a \cdot x_{3} = - 6 \cdot a - 2 \cdot a \cdot x_{3}

\Rightarrow 0 = - 6 \cdot a - 2 \cdot a \cdot x_{3} \Rightarrow 2 \cdot a \cdot x_{3} = - 6 \cdot a \Rightarrow x_{3} = - 3

Jetzt könnte man die Bedingungen für die erste Ableitung einsetzen, aber die einzige Bedingung, die wir für die erste Ableitung hatten war, dass

f' (3) = 0

ist und die steckt bereits im Ansatz mit der doppelten Nullstelle drin. Also fährt man mit der nächsten Bedingung für die Funktion fort. Die Bedingung

f (3) = 0

steckt ebenfalls im Ansatz, also bleibt als letzte Bedingung:

f (0) = - 1 = a \cdot {(0 - 3)}^{2} \cdot (0 - (- 3)) = a \cdot 9 \cdot 3 = 27 \cdot a \Rightarrow a = - \frac{1}{27}

\Rightarrow f (x) = - \frac{1}{27} \cdot {(x - 3)}^{2} \cdot (x - (- 3))

f (x) = - \frac{1}{27} \cdot (x^{2} - 6 \cdot x + 9) \cdot (x + 3)

f (x) = - \frac{1}{27} \cdot (x^{3} - 3 \cdot x^{2} - 9 \cdot x + 27)

f (x) = - \frac{1}{27} \cdot x^{3} + \frac{1}{9} \cdot x^{2} + \frac{1}{3} \cdot x - 1

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15:47 Uhr, 13.02.2015

Sehr sehr gute Antworten!! Super Forum

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