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Stichprobenumfang berechnen

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Stichprobe

maroni15 aktiv_icon

16:14 Uhr, 08.05.2014

Hi,
Ich komme bei diesem Beispiel schon seit Stunden einfach nicht weiter. Hab schon überall gesucht, Internet, Bücher, aber nichts dazu gefunden. Bitte um Hilfe!

Gegeben ist:
Empirische Varianz:

P(102,1388 <= X <= 107,8612)

\overline{x} = 102

s= 4

Gesucht wird der Stichprobenumfang n.

ich habe folgendes gerechnet:

x_{i} = (102, 1588 + 107, 8612) / 2

s^{2} = \frac{1}{n - 1} * (x_{i} - \overline{x})^{2}

16 = \frac{1}{n - 1} * 9

Ergebnis sollte 37 sein. Das ist also falsch. Worin liegt der Fehler?

Danke im voraus!

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16:24 Uhr, 08.05.2014

Was ist damit?

P (102, 1388 < = X < = 107, 8612)

Ist es bekannt, was es ist?
Oder ist gemeint, dass dies das Konfidenzintervall sein soll? Dann ist

P

falsch und

\overline{x}

kann nicht

102

sein.

Könntest Du nicht die komplette Aufgabe posten? Am besten Foto machen. :-)

maroni15 aktiv_icon

16:35 Uhr, 08.05.2014

Das ist eine Angabe von meinem Lehrer, also nichts, dass in einem Buch steht.

Wie groß muss die Stichprobe mindestens gewählt sein, wenn µ (Länge des Konfidenzintervalls) nur 3cm betragen darf. (gleichbleibende empirische Messgrößen)

Erwartungswert

µ_{1} = 99, 1388

Erwartungswert

µ_{2} = 104, 8612

Standardabweichung

σ_{1} = 2, 752

Standardabweichung

σ_{2} = 7, 303

\overline{x} = 102 c m

s = 4cm

Stichprobenumfang n=?

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14:07 Uhr, 09.05.2014

Du hast zwei verschiedene Erwartungswerte?
Und worauf beziehen sie sich?
Und was ist dann

\overline{x}

?
Und um welche Stichprobe geht es?

maroni15 aktiv_icon

15:38 Uhr, 09.05.2014

ok, vl habe ich es falsch aufgeschrieben
.
Das Beispiel ist in 3 Teilaufgaben unterteilt.

Als erstes soll das Vertrauensintervall für µ gelöst werden:
Lösung waren die oben genannten werte für

µ_{1}

und

µ_{2}

Das zweite war die Frage nach dem vertrauensintervall

σ :

Wie auch bei µ sind das die beiden Ergebnisse, die oben stehen.

Die Werte sind dem Lösungsbuch zufolge auch korrekt.

Und jetzt soll daraus der Stichprobenumfang herausgefunen werden.

maroni15 aktiv_icon

15:38 Uhr, 09.05.2014

ok, vl habe ich es falsch aufgeschrieben
.
Das Beispiel ist in 3 Teilaufgaben unterteilt.

Als erstes soll das Vertrauensintervall für µ gelöst werden:
Lösung waren die oben genannten werte für

µ_{1}

und

µ_{2}

Das zweite war die Frage nach dem vertrauensintervall

σ :

Wie auch bei µ sind das die beiden Ergebnisse, die oben stehen.

Die Werte sind dem Lösungsbuch zufolge auch korrekt.

Und jetzt soll daraus der Stichprobenumfang herausgefunen werden.

s und

\overline{x}

sind Angaben, um die ersten beiden Teilaufgaben zu lösen. Keine Ahnung, ob die etwas mit der 3.Teilaufgabe zu tun haben...

DrBoogie aktiv_icon

15:58 Uhr, 09.05.2014

OK,

μ_{1}

und

μ_{2}

sind also die Grenzen von dem Konfidenzintervall (also sind sie gar keine Erwartungswerte),

\overline{x} = 102

ist die Mitte des Intervalls (also ein empirischer Erwartungswert),

s

die empirische Standartabweichung.
Es steht oben, dass

s = 4

ist, aber das kann nicht stimmen, denn

s

muss ja in der Mitte des enstprechenden Konfidenzintervalls liegen, also muss

s = 5

sein.
Von dem Signifikanzniveau keine Spur, aber nehmen einfach an, dass es

95 %

ist.
Dann haben die Formel:
halbe Länge des Konfidenzintervalls=

\frac{z_{97.5} \cdot s}{\sqrt{n}}

.
Für die halbe Länge haben

μ_{2} - \overline{x} = 2.84

(ca.),
also

n = {(\frac{z_{97.5} \cdot s}{2.84})}^{2} = {(\frac{1.96 \cdot 5}{2.84})}^{2} = 12

.

Das Ergebnis stimmt leider nicht, was bei allem, was ich an Annahmen vermuten musste, auch kein Wunder ist.
Wenn Du schaffst, die Aufgabe mal auch korrekt und vollständig zu stellen, könnte ich vielleicht auch das richtige Ergebnis rausbekommen. :-)

maroni15 aktiv_icon

17:06 Uhr, 09.05.2014

hmm.ok, danke!

wie gesagt, ich habe keine textangabe, nur stichwörter, weil mein lehrer die aufgabe angesagt hat. Deswegen versuche ich hier die Aufgabe irgendwie wiederzugeben. Nur mit fehlen da eben die richtigen begriffe :/

Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsgröße mit den unbekannten Werten µ und

σ .

Es wurde eine Stichprobe im Umfang n=10 durchgeführt. daraus ergaben sich folgende werte:

\overline{x} = 102 c m

s=4cm

Gesucht:
1) Vertrauensintervall µ = ? (Irrtum: 5%)

2) Vertrauensintervall

σ = ?

(Erfolg: 95%)

3)Wie groß müsste die Stichprobe mindestens gewählt sein, wenn µ (Länge des Konfidenzintervalls) nur 3cm betragen darf. (bei gleichbleibende empirische Messgrößen)

Ist das verständlicher?

DrBoogie aktiv_icon

17:12 Uhr, 09.05.2014

Ja, so ist besser, danke. Abends schreibe ich was dazu.

DrBoogie aktiv_icon

19:53 Uhr, 09.05.2014

Hm, irgendwie verstehe ich nicht, wie Du in a) und b) auf die richtigen Zahlen kommst, kannst Du vielleicht Deine Lösung schreiben?

maroni15 aktiv_icon

20:53 Uhr, 09.05.2014

1 - α = 0, 95 - - > α = 0, 05

\frac{α}{2} = 0, 025

1 - \frac{α}{2} = 0, 975

f_{9; 0, 975} = 2, 262

µ_{1, 2} = \overline{x} \pm f_{9; 0, 975} * \frac{s}{\sqrt{n}} = 102 \pm 2, 262 * \frac{4}{\sqrt{1} 0}

α

,etc,.. wie bei 1.)

f_{9; \frac{α}{2} = 2, 7}

f_{9; 1 - \frac{α}{2} = 19, 02}

σ_{1} = s * \sqrt{\frac{n - 1}{f_{9; \frac{α}{2}}}}

σ_{2} = s * \sqrt{\frac{n - 1}{f_{9; 1 - \frac{α}{2}}}}

Die f-Werte sind aus einer Tabelle abgelesen

DrBoogie aktiv_icon

21:28 Uhr, 09.05.2014

Danke, sehr schön. :-)

Gut, also jetzt haben wir statt

n = 10

ein allgemeines

n

.
Die Formel für Konfidenzintervall bleibt vorerst wie in a):

(\overline{x} - f_{n - 1; 0.975} \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} - f_{n - 1; 0.975} \frac{s}{\sqrt{n}})

.
Wir wissen, dass die Länge des Intervalls

3

betragen soll,
also

2 f_{n - 1; 0.975} \frac{s}{\sqrt{n}} = 3

. Daraus könnten wir

n

einfach rausbekommen, wenn

f_{n - 1; 0.975}

nicht von

n

abhängig würde. Also stört jetzt

f_{n - 1; 0.975}

, deshalb wäre es logisch, dieses Quantil durch ein entsprechendes Quantil der Standardnormalverteilung zu ersetzen, welches dann von

n

unabhängig ist.
Dann hätten wir die Gleichung

2 z_{0.975} \frac{s}{\sqrt{n}} = 3

und aufgelöst nach

n

würden bekommen

n = {(\frac{2 z_{0.975} \cdot s}{3})}^{2}

.
Mit

s = 4

und

z_{0.975} = 1.96

wäre dann

n

ca.

27

.

Aber Du sagst, dass da

n = 37

rauskommen soll. Nun,

n = 37

passt nicht, Du kannst

n = 37

in die Formel

f_{n - 1; 0.975} \frac{s}{\sqrt{n}}

mit

s = 4

reinsetzten und wirst sehen, dass da nicht

1.5

rauskommt, sondern deutlich weniger. Was auch logisch ist, denn wir brauchen nicht so großen Stichprobenumfang, wir haben gerade durch die Normalapproximation gezeigt, dass schon

27

ausreicht.
Also bin ich etwas verwirrt. Kann es sein, dass Du

37

und

27

verwechselt hast?

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