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Stichprobenverteilung

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Verteilungsfunktionen

Tags: Stichprobenverteilung, Verteilungsfunktion

Mazzle aktiv_icon

12:29 Uhr, 01.02.2015

Hallo liebe Wissende,
ich suche nach nötigen Formeln zur Lösung dieser Aufgaben. Ich selbst habe leider keinerlei Statistikkentnisse.

Hirngewichte

1905

veröffentlichte R.Pearl den Artikel „Biometrical Studies on Man. I.Variation and Correlation in Brain Weight“ (Biometrika, Vol.

4,

pp. 13‐104). Nach dieser Studie sind die Hirngewichte schwedischer Männer normalverteilt mit Mittelwert

1.40

kg und einer Standardabweichung von

0.11

.

Wenden Sie die

68.26 - 95.44 - 99.74

Regel an, um die folgenden Lücken auszufüllen.

1)

68,26 %

der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen

. .

. und

. .

95,44 %

der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen

. .

. und

. .

99,74 %

der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen

. .

. und

. .

2)

Dem zentralen Grenzwertsatz folgend, ist der Stichprobenmittelwert

x

für relativ große Stichprobenumfänge annähernd normalverteilt. Was gilt in diesem Zusammenhang als „relativ groß“?

N \geq . .

3)

a)

Bestimmen Sie die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts für Stichproben vom Umfang 3

b)

Bestimmen Sie die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts für Stichproben vom Umfang

12

c)

Bestimmen Sie den Prozentsatz aller Stichproben vom Umfang

3,

bei denen das Hirngewicht um

0.1

kg um das mittlere Hirngewicht von

1.40

kg liegt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Mazzle aktiv_icon

14:46 Uhr, 01.02.2015

Zu Frage 1 habe ich dieses Ergebnis:

Die 68-95-99-Regel benennt die Sigma-Intervalle.

Demnach

a) 68,26 %

der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen

1,29

und

1,4

b) 95,44 %

der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen

1,18

und

1,4

c) 99,74 %

der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen

1,07

und

1,4

Mazzle aktiv_icon

14:59 Uhr, 01.02.2015

Zu Frage

2)

http://de.wikibooks.org/wiki/Statistik:_Zentraler_Grenzwertsatz

"Als Faustregel gilt, daß die Verteilung einer Summe von mehr als

30

stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen schon sehr gut annähernd mit der Normalverteilung bestimmt werden kann

(n >

30)."

Ergebnis

= N \geq 30

DrBoogie aktiv_icon

15:31 Uhr, 01.02.2015

"Demnach
a)68,26% der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen 1,29 und 1,4
b)95,44% der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen 1,18 und 1,4
c)99,74% der schwedischen Männer haben ein Hirngewicht zwischen 1,07 und 1,4"

Alle Intervalle müssen symmetrisch bzgl. des Mittelwerts sein.
Die Regel sagt ja: Mittelwert

\pm

Sigma (2 Sigmas, 3 Sigmas).

Also muss es in a) "zwischen 1,29 und 1,51" heißen, in b) "zwischen 1.18 und 1.62" usw.

Mazzle aktiv_icon

16:00 Uhr, 01.02.2015

\pm,

aha, ok danke.

Mazzle aktiv_icon

17:21 Uhr, 01.02.2015

Aufgabe 3

Laut
http://vilespc01.wiwi.uni-oldenburg.de/navtest/viles2/kapitel02x5_Stichprobenverteilungen/modul01_Stichprobenverteilungen~~ldes~~larithmetischen~~lMittels/ebene02_Beispiele~~lund~~lAufgaben/02x5__01__02__01.php3

Beispiel einer Stichprobenverteilung der X̄ bei bekanntem σ: σX̄ = σ

/ \sqrt{n}

a) \frac{0,11}{1,732} = 0,635

Soll heißen: Bei drei Stichproben wird die Abweichung vom Erwartungswert im Schnitt bei

0,635

kg liegen.

b) \frac{0,11}{3,464} = 0,381

Soll heißen: Bei zwölf Stichproben wird die Abweichung vom Erwartungswert im Schnitt bei

0,381

kg liegen.

Je mehr Stichproben, desto geringer die Abweichung vom tatsächlichen Mittelwert

1,4

kg.

Aber nun?
"Bestimmen Sie den Prozentsatz aller Stichproben vom Umfang

3,

bei denen das Hirngewicht um

0.1

kg um das mittlere Hirngewicht von 1,4kg liegt."

Also wieviel Prozent der

x

Stichproben liegen im 1-Sigma-Bereich? Na immer

68 %,

oder? Also bei drei 1 Stichprobe und bei zwölf 8 Stichproben? Verstehe die Frage nicht.

DrBoogie aktiv_icon

09:41 Uhr, 02.02.2015

"Also wieviel Prozent der Stichproben liegen im 1-Sigma-Bereich? Na immer 68% oder?"

Das stimmt schon, aber das Sigma ist jetzt nicht das ursprüngliche Sigma, sondern

σ / \sqrt{3}

. Und

0.1

ist leider nicht exakt ein Sigma oder zwei. Also reicht es nicht, damit zu argumentieren.

Die Rechnung geht so:

P (∣ \bar{X} - 1.4 ∣ \leq 0.1) = P (- 0.1 \leq \bar{X} - 1.4 \leq 0.1) = P (\frac{- 0.1}{0.0635} \leq \frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq \frac{0.1}{0.0635}) = P (- 1.575 \leq \frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq 1.575) =

= P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq 1.575) - P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq - 1.575) = P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq 1.575) - P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \geq 1.575) =

= P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq 1.575) - (1 - P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq 1.575)) = 2 P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq 1.575) - 1 =

= 2 Φ (1.575) - 1 = 2 \cdot 0.9429 - 1 = 0.8858

.

Ein Paar Worte dazu:
1)

0.0635 = 0.11 / \sqrt{3}

ist die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts für Stichproben vom Umfang 3 (also Deine Anworten in a) und b) sind nicht ganz richtig, da fehlt jeweils ein

0

nach dem Komma),
2) in der Berechung wird benutzt, dass

\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635}

standardnormalverteilt ist, insbesondere gilt
3)

P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \leq - a) = P (\frac{\bar{X} - 1.4}{0.0635} \geq a)

- Symmetrie der Verteilung,
4)

Φ (z)

kann man dieser Tabelle entnehmen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

Φ (z)

ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

1215186

1214953

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