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Stochastik - Chance auf Buchstabenkombinationen

Universität / Fachhochschule

Tags: Stochastik, Wahrscheinlichkeit

Maddin0 aktiv_icon

21:56 Uhr, 29.06.2023

Dieses Rechenbeispiel ist aus einer Facebook Gruppe. Der Lösungsansatz von einem Freund. Jetzt brauchen wir Überprüfung! :-D)

===
Jemand zieht aus einem Vorrat an Alphabeten (jeweils vollständig) eine bestimmte Anzahl Buchstaben. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass ein bestimmtes Wort dabei heraus kommt.

Also zum Beispiel: h u n d aus einem vollständigen Alphabet zu ziehen.
===

Reihenfolge der Buchstabenziehung spielt eine Rolle!
Jeder Buchstabe kommt nur 1x im Wort vor (vorerst).
n = Anzahl der Buchstaben des Wortes.
k = 26 Buchstaben eines Alphabets. Gibt es 2 Alphabete wir k = 52 usw...

Formel:
"(k-n)! / k!"

Hier ist ein Programm, welches ich dazu schreibe (herunterladen und mit dem Browser öffnen, ist nur ne html).
www.dropbox.com/scl/fi/7cy4js8d8m9dlqslbq80l/index.html?dl=0&rlkey=9otrjeyxiaoj6jzlcve8ad374

1) klappt das so mit der Formel? Ist alles logisch?

2) "1 zu 0.0000027870680044593086" = "1 zu 2,787 mio"?

Vielen Dank!

ps: bitte den Quellcode erst mal nicht ändern sondern mir lieber sagen was zu tun ist, sonst lern ich es nicht ;-). Das Programmieren ist für mich eine Übung. Für die Mathematik werde ich in diesem Leben kein Experte mehr.

pivot aktiv_icon

22:19 Uhr, 29.06.2023

Hallo,

ohne Zurücklegen ist die Chance für "hund" (in der Reihenfolge) gleich

\frac{1}{26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23}

bzw.

\frac{1}{(\begin{matrix} 26 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 4!}

Gruß
pivot

Roman-22

23:22 Uhr, 29.06.2023

> 1)

klappt das so mit der Formel?
Ja, für die gegebene Aufgabe schon.

n

unterschiedliche Buchstaben aus denen

k

ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gewählt werden.

\to

"Variation ohne Wiederholung"
Die Anzahl aller möglichen so gebildeter "Wörter" ist

\frac{n!}{(n - k)!}

und die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einem Versuch ein ganz bestimmtes dieser Wörter ergibt, dann, wie von dir angegeben, der Kehrwert

1 : \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{(n - k)!}{n!}

> 2)

"1 zu 0.0000027870680044593086"
NEIN! Das "1 zu" ist falsch. Die Wkt IST einfach

0,00000278 . .

. oder

0,00000278

1!

Das Ergebnis ergibt sich ja auch durch pivots Rechenvorschlag.

> =

"1 zu

2,787

mio"?
Auch falsch! Die Wkt ist 1 zu

358800

Es gibt ohne Berücksichtigung von Groß-/Kleinschreibung und ohne Berücksichtigung von Umlauten oder scharfem ß genau

358800

vierbuchstabige "Wörter", in denen kein Buchstabe mehrfach vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit, das sich bei zufälliger Wahl der Buchstaben ein ganz bestimmtes Wort, zB "hund" einstellt, ist daher

\frac{1}{358800} \approx 2,787 \cdot 10^{- 6}

Wenn du gern mit Millionen um dich wirfst, dann könntest du bestenfalls sagen "2,787 zu einer Million" oder "

2,787

Millonstel zu 1".

KL700 aktiv_icon

06:54 Uhr, 30.06.2023

Du kannst das vergleichen mit Lotto

(4

aus

26)

mit Reihenfolge.

Maddin0 aktiv_icon

10:06 Uhr, 30.06.2023

Hallo, danke für die Antworten.

1)

jetzt gehts mir nur noch darum, die richtige Formulierung checken zu lassen. Es soll dem ähneln, wie man es oft in den Medien hört: "Chance 1 zu

140

Mio. Glückspiel kann süchtig machen" usw

Beispiel

h u n d :

"Die Chance beträgt 1 zu 358800"
"Die Chance beträgt

0,0000028

2)

(Wie) Verändert sich die Rechnung, wenn in dem vorgegebenen Wort Buchstaben doppelt vorhanden sind?

w e n n

k

wird zu

52

(zwei benötigte Sätzen Alphabet). Muss man noch mehr beachten?
Wenn das erste

n

gezogen ist, verändert sich doch die Wahrscheinlichkeit für das zweite?

Vielen Danke und liebe grüße

KL700 aktiv_icon

11:53 Uhr, 30.06.2023

"Chance 1 zu

140

Mio. Glückspiel kann süchtig machen"

Bei Lotto kommt noch die Superzahl hinzu, davon gibt es

10

.
So kommt man auf

(\begin{matrix} 49 \\ 6 \end{matrix}) \cdot 10 =

ca.

140

Mio Komnbinationen

Bei Eurolotto sind es sogar

12

ZAhlen

(1 - 12),

von denen man 2 braucht für den Jackpot.

(\begin{matrix} 50 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix})

ergibt auch diese

140

Mio Kombinationen, exakt dieselbe Zahl wie
bei 6 aus 49-Hauptgewinn.

2)

Beispiel: mann

\frac{2}{52} \cdot \frac{1}{51} \cdot \frac{2}{50} \cdot \frac{2}{48} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!}

Roman-22

16:20 Uhr, 30.06.2023

>

"Die Chance beträgt 1 zu 358800"
Ja, richtig

>

"Die Chance beträgt

0,0000028

%"
NEIN! Die Wahrscheinlichkeit ist

0,0000028

und das sind

0,00028 %

> 2)

(Wie) Verändert sich die Rechnung, wenn in dem vorgegebenen Wort Buchstaben doppelt vorhanden sind?
Sie wird schwieriger ;-)
Ich gehe davon aus, dass du "höchstens doppelt" meinst. Also dass von jedem der

26

Buchstaben zunächst genau zwei Stück zur Auswahl zur Verfügung stehen.
Nun ist nicht mehr jedes Wort gleichwahrscheinlich - Wörter mit doppelten Buchstaben treten mit geringerer Wahrscheinlichkeit auf.

Die Wahrscheinlichkeit für "hund" ist 2 zu

812175

oder rund

0,0002463 %

Und jeder Doppelbuchstabe halbiert diese Wahrscheinlichkeit, sodass jene für "huch" nur mehr

0,0001231 %

und jene für "huhu" nur mehr

0,0000616 %

ist.

P . S . :

Achtung! Der Vorschlag von KL700 für die Berechnung der Wahrscheinlichlkeit von "mann" ist mehrfach falsch. Zum einen sollte die

48

eine

49

sein und zum anderen kommt es bei dir, wenn ich dich richtig verstanden habe, auch auf die Reihenfolge bei der Ziehung an. Du hast ja deutlich geschrieben "Reihenfolge der Buchstabenziehung spielt eine Rolle!". Man wählt also nicht einfach vier Buchstaben und versucht danach sie zum gewünschten Wort anzuordnen, sondern bei "mann" MUSS nach deiner Vorgabe der erste gewählte Buchstabe ein "m" sein. Daher ist die von KL700 nachgeschossene Permutationsformel wegzulassen und die WKT, "mann" zu wählen ist einfach

\frac{2}{52} \cdot \frac{2}{51} \cdot \frac{2}{50} \cdot \frac{1}{49} = \frac{1}{812175}

und natürlich gleich groß wie jene für "huch".

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