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Stochastik Hypothesentest

Schüler Gymnasium,

Tags: Binomialverteilung, Hypothesentest, Standardabweichung, Wahrscheinlichkeit

UlrichW aktiv_icon

22:27 Uhr, 17.04.2025

Hallo, ich habe folgende Aufgabe zur Stochastik die ich nur teilweise lösen konnte.
Für weitere Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Aufgabe:
Die Firma Super-Glow hat eine Maschine, die Glühbirnen produziert.

2 %

der von dieser Maschine produzierten Glühbirnen sind fehlerhaft.

1. Erläutern Sie, um was für eine Verteilung es sich handelt und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von

100

produzierten Glühbirnen genau 3 fehlerhaft sind.

2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Lieferung von

200

Glühbirnen mehr als 6 defekt sind.

3. Der Hersteller vermutet, dass die Produktionsmaschine mittlerweile mehr als

2 %

defekte Glühbirnen produziert und möchte dies mit einer Stichprobe von

300

Glühbirnen überprüfen. Formulieren Sie die beiden Hypothesen sowie die zugehörige Entscheidungsregel für α

= 5 %

.

4. Die tatsächliche Fehlerquote der Maschine beträgt

2,8 %

. Bestimmen Sie (bezogen auf die Stichprobe aus

(3))

die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art und erläutern Sie ihn im Sachzusammenhang.

5. Die Lebensdauer der Glühbirnen ist normalverteilt mit einem Mittelwert von

1000

Stunden und einer Standardabweichung von

50

Stunden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Glühbirne länger als

1080

Stunden hält.

6. Durch eine Produktanpassung verändert sich die Standardabweichung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne länger als

1080

Stunden hält, beträgt nun nur noch

1 %

. Bestimmen Sie die veränderte Standardabweichung.

Das habe ich bis jetzt gerechnet:

zu 1.
Binomialverteilt, da nur zwei Möglichkeiten und die Wahrscheinlichkeit ist immer gleich.

n = 200, k = 3, p = 0.02

Mit der Formel für Binomialverteilung

P (x = 3) = (100

über

3) \cdot 0.02

hoch

3 \cdot 0.98

hoch

97

bekomme ich als Ergebnis:

18.23 %

zu 2.

n = 200, p = 0.02, P (X > 6) = 1 - P (X \leq 6) = 10.85 %

zu 3.

n = 300, p = 0.02,

Signifikanzniveau(Alpha)=0.05
Die Nullhypothese

H 0 : p > 0.02

und die Gegenhypothese

H 1 : p \leq 0.02

müssen wegen

H 1 (p \leq 0.02)

angepasst werden zu:

H 0 : p \leq 0.02

und

H 1 : p > 0.02 \Rightarrow

Rechtsseitiger Test!
Mit dem folgenden Ansatz bin ich mir nicht sicher:

P (X \geq k) \leq 0.05

daraus ergibt sich:

1 - P (X \leq k - 1) \leq 0.05

wird zu:

0.95 \leq P (X \leq k - 1)

Der Tascherchner liefert für

k = 9

den Wert

0.91816,

für

k = 10

den Wert

0.95903

D . h

. mit

k = 10

ist der erste Wert über

0.95

k - 1

in der Wahrscheinlichkeit

P

steht, ist

k = 11

Daraus ergint sich folgende Entscheidungsregel:
Hat die Stichprobe

11

oder mehr defekte Glühbirnen, dann wird die Hypothese, dass weniger als

2 %

der Glühbirnen defekt sind, abgelehnt (verworfen).

Bis hier hin sollte alles stimmen.
Für eine Rückmeldung wäre ich sehr dankbar!

Für die Teilaufgaben 4 bis 6 habe ich momentan leider keinen Ansatz oder eine Idee.
Hier wäre ich um Unterstützung sehr verlegen.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Lieben Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente
Hypothesentest

Randolph Esser aktiv_icon

21:06 Uhr, 18.04.2025

1 .)

(\begin{matrix} 100 \\ 3 \end{matrix}) {(\frac{2}{100})}^{3} {(\frac{98}{100})}^{97} \approx 0,18228

2 .)

1 - \sum_{k = 0}^{6} (\begin{matrix} 200 \\ k \end{matrix}) {(\frac{2}{100})}^{k} {(\frac{98}{100})}^{200 - k} \approx 0,10856

3 .)

Bestimme das Maximum der

g,

sodass

\sum_{k = g}^{300} (\begin{matrix} 300 \\ k \end{matrix}) {(\frac{2}{100})}^{k} {(\frac{98}{100})}^{300 - k} \leq \frac{5}{100}

(bei uns in der Schule damals mit

T R

und

σ

-Tabelle) .

Das liefert

g = 11

H_{1}

ist

p > \frac{2}{100}, H_{0}

ist

p \leq \frac{2}{100}

Wir lehnen

H_{0}

bei einem Ergebnis in

[g,300]

ab

und nehmen

H_{0}

bei einem Ergebnis in

[0, 10]

an.

4 .)

Ein Fehler 2. Art ist,

ein Ergebnis in

A n_{H_{0}}

zu erhalten, obwohl

H_{1}

gilt.

Hier also konkret,

für

p = \frac{28}{1000}

ein Ergebnis in

[0,10]

zu erhalten, also

\sum_{k = 0}^{10} (\begin{matrix} 300 \\ k \end{matrix}) {(\frac{28}{1000})}^{k} {(\frac{972}{1000})}^{300 - k} \approx 0,77679

Randolph Esser aktiv_icon

21:29 Uhr, 18.04.2025

5 .)

Hier könnte die Normalverteilung

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}

mit

μ = 1000

und

σ = 50

greifen

(Siehe Wikipedia-Artikel "Normalverteilung").

Für die Aufgabe würde ich dann über

[1080, \infty)

integrieren

(d . h

. einen Rechenknecht verwenden), also

\int_{1080}^{\infty} \frac{1}{50 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - 1000}{50})}^{2}} d x \approx 0,0548

6 .)

Hier müsste man dann, vorausgesetzt

5 .)

ist richtig,

ein

σ

finden, sodass

\int_{1080}^{\infty} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - 1000}{σ})}^{2}} d x \approx 0,01

.

Durch Rumschwurbeln mit Wolfram Alpha

habe ich

σ \approx 34,38868

gefunden,

aber wahrscheinlich gibt es dafür

auch eine Formel.

Vielleicht meldet sich ja noch

ein Normalverteilungsprofi (bin keiner)

und hilft weiter...

UlrichW aktiv_icon

23:55 Uhr, 18.04.2025

Vielen vielen Dank für die Mühe!
Das muss ich jetzt erstmal versuchen zu verstehen...
Ich melde mich dann nochmal.
Lieben Gruß und schöne Ostertage

pivot aktiv_icon

00:21 Uhr, 19.04.2025

Zum berechenen von

σ

mit der Gleichung

P (X \geq 1080) = 1 - P (X \leq 1079) = 1 - Φ (\frac{1079 + 0, 5 - 1000}{σ}) = 0, 01

1. Für eine diskrete Verteilung wie die Binomialverteilung gilt:

P (X \geq x) = 1 - P (X \leq x - 1)

.
2. Dabei ist

Φ (\cdot)

die Verteilungsfunkion der Standardnormalverteilung.
3.

+ 0, 5

ist die Stetigkeitskorrektur. Wurde im vorherigen Beitrag nicht verwendet.

Umstellen:

Φ (\frac{1079 + 0, 5 - 1000}{σ}) = 0, 99

Zähler vereinfachen:

Φ (\frac{79, 5}{σ}) = 0, 99

Umkehrfunktion bilden:

\frac{79, 5}{σ} = Φ^{- 1} (0, 99)

Man kann in einer Tabelle für die Standardnormalverteilung nachschauen für welches

z

man eine Wahrscheinlichkeit von ca. 0,99 erhält. Das ist bei 2,33 der Fall. Man könnte durch Interpolieren auf einen noch genaueren Wert kommen. Ich lass das aber mal hier.

www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.110/lehre/ws13/wr/Tabelle_Standardnormalverteilung.pdf

\frac{79, 5}{σ} = 2, 33

σ = \frac{79, 5}{2, 33} \approx 34, 12

1590723

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