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Stochastik: Ist das Spiel fair?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: faires Spiel, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

hannitschka aktiv_icon

12:57 Uhr, 02.03.2013

Hallo, schreibe nächsten Donnerstag eine Klausur in Mathe; Thema wird unter Anderem Stochastik sein, verzweifle jedoch bereits an dieser simplen Aufgabe (hab sie zwar bereits im Forum gefunden, allerdings nicht nachvollziehen können):

Ein Wurf mit zwei Würfeln kostet 1€ Einsatz. Ist das Produkt der beiden Augenzahlen größer als

20,

werden 3€ ausbezahlt. Ist das Spiel fair? Wie müsste der Einsatz geändert werden, wenn das Spiel fair sein soll?
_

Die Laplace Geschichte hab ich verstanden, denk ich:

E = {(4,6); (6,4); (5,5); (5,6); (6,5); (6,6)}

und

Ω = 6 \cdot 6 = 36

P (E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16,7 %

Jetzt hab ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich die Fairness des Spiels berechnen soll, dachte ich könnte das so machen:

100 \cdot 1

€ = 100€ (als Ausgabe bei

100

Spielen)

\frac{1}{6} \cdot 3

€ = 0,5€ (als Gewinn bei

100

Spielen)

dann wäre die Bilanz ja:

100 - 0,5 = 99,5

und auf ein Spiel bezogen (geteilt durch

100)

blieben dann ja

99,5

ct übrig, das ist mir total unverständlich, hoffe mir kann jemand weiterhelfen!

Matlog aktiv_icon

13:32 Uhr, 02.03.2013

Bei

\frac{1}{6} \cdot 3

€=0,5 €, wo sind denn da Deine

100

Spiele berücksichtigt?
Die

100

Spiele sind aber gar nicht nötig. Es genügt, ein Spiel zu betrachten.

Ein solches Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert der Auszahlung gleich dem eingesetzten Betrag ist.
Und diesen Erwartungswert hast Du mit

\frac{1}{6} \cdot 3

€=0,5 € bereits berechnet (vielleicht unbewusst?).

hannitschka aktiv_icon

13:37 Uhr, 02.03.2013

Ich dachte, da ja meine

\frac{1}{6}

den

16,7 %

entsprechen, dass ich somit die

100

berücksichtigt hätte.

Okay, das versteh ich nicht recht!
Das Spiel ist fair, wenn die Bilanz von Einsatz und Gewinn Null ergibt (?).
Was hab ich denn nun mit den

\frac{1}{6} \cdot 3

€ berechnet?

Matlog aktiv_icon

13:45 Uhr, 02.03.2013

Tja, und das verstehe ich nicht!
Wieso ist mit

P (E) = \frac{1}{6}

die

100

berücksichtigt?
Mit Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{6}

erhält man bei EINEM Spiel eine Auszahlung von 3 €,
mit Wahrscheinlichkeit

\frac{5}{6}

erhält man eine Auszahlung von 0 €.
Das ergibt einen Erwartungswert der Auszahlung von

\frac{1}{6} \cdot 3

€+

\frac{5}{6} \cdot 0

€=0,5 €.

Den Erwartungswert einer Zufallsvariablen habt Ihr doch sicher behandelt, oder nicht?

hannitschka aktiv_icon

13:58 Uhr, 02.03.2013

Von Zufallsvariablen habe ich ehrlich gesagt noch nichts gehört..
Hatten bisher nur Binomialkoeffizienten also

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}),

dann

n^{k},

Produktregel, Laplace und Baumdiagramme.

Sind die 0,5€ also der durchschnittliche Gewinn für ein Spiel?

Tut mir Leid, dass ich so schwer von Begriff bin..

Matlog aktiv_icon

14:02 Uhr, 02.03.2013

Vollkommen richtig!

0,5

€ ist die durchschnittliche Auszahlung bei EINEM Spiel. Genau das bedeuted Erwartungswert.

Die durchschnittliche Auszahlung müsste also 1 € betragen, um das zu einem fairen Spiel zu verändern.

hannitschka aktiv_icon

14:03 Uhr, 02.03.2013

Ahhhh, jetzt dämmerts mir so langsam!
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!!

clockl21 aktiv_icon

17:35 Uhr, 15.05.2015

Ich verstehe eure Lösung der Aufgabe irgendwie nicht.

Meine Rechnung:

Anzahl der Möglichen Ergebnisse:

18

Davon sind 4 günstig

(4

Ergebnisse sind über

20)

.

Also:

\frac{4}{18} \cdot 3 = \frac{12}{18}

\frac{12}{18} < 1

→ unfair

Ist mein Lösungsweg falsch, weil ich nicht beachtet habe, dass es

z . B

. wahrsscheinlicher ist, das Ergebnis 6 zu würfeln, als das Ergebnis

16

Matlog aktiv_icon

17:53 Uhr, 15.05.2015

Wow, da hast Du ja einen alten Schinken ausgegraben...

Deine Frage hast Du bereits selbst gut beantwortet:
So darf man nur bei Laplace-Experimenten rechnen,

d . h

. wenn alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben!

clockl21 aktiv_icon

18:06 Uhr, 15.05.2015

Alles klar, danke!

Matlog aktiv_icon

18:16 Uhr, 15.05.2015

Binomialkoeffizienten sind hier auch nicht nötig.

Man erhält ein Laplace-Experiment, wenn man alle Zahlenpaare

(x, y)

betrachtet, wobei

x

das Ergebnis des ersten Würfels,

y

das Ergebnis des zweiten Würfels ist.

Dann gibt es

36

Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind.
Die günstigen Ergebnisse hat hannitschka ganz oben einfach aufgezählt.

Aber scheinbar hat sich das bei Dir inzwischen bereits geklärt.

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