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Stochastik, Münze werfen, Wahrscheinlichkeit

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Stochastik, Wahrscheinlichkeit

yanii18 aktiv_icon

20:21 Uhr, 24.03.2010

Hallo,
weiß leider nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen!

Danke im Vorraus :-)

Aufgabe:

Wie oft muss eine Münze geworfen werden, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von mind.

99 %

mind. einmal Kopf fallen soll?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

bruce57 aktiv_icon

20:40 Uhr, 24.03.2010

Hi Yan,

man kann sich hier der Gegenwahrscheinlichkeit bedienen:

P

(mindestens einmal Kopf)

\geq 99 %

\to

Gegenwahrscheinlichkeit

P

(stets Zahl)

\leq 1 %

Gesucht ist also die Wurfanzahl

x,

für die gilt:

{(\frac{1}{2})}^{x} \leq 1 %

Besten Gruß
Andreas

yanii18 aktiv_icon

20:52 Uhr, 24.03.2010

Hallo Andreas,

und wie komme ich dann auf x? Kann ich den natürlichen Logarithmus nehmen?

yanii18 aktiv_icon

21:01 Uhr, 24.03.2010

x \cdot ln (\frac{1}{2}) < ln (0,01)

x \cdot (- 0,7) < - 4,6

geteilt durch

- 0,7

x < 6,6

Und was haben wir dann damit ausgerechnet?

Das man

6,6

mal werfen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von

99 %

mind. einmal Kopf fällt?

Ich versteh nicht recht, wieso wir

{(\frac{1}{2})}^{x} < 1 %

rechnen..
Ich dachte man soll berechnen wie oft man werfen muss, um mit einer

99 %

Wahrscheinlichkeit mind. einmal Kopf zu werfen.

Wieso stellen wir dann nicht das auf?

\to {(\frac{1}{2})}^{x} < 99 %

bruce57 aktiv_icon

22:28 Uhr, 24.03.2010

Gehen wir mal - um das Ganze anschaulicher zu machen - von einer Anzahl von beispielsweise 4 Würfen aus und nennen das Ergebnis "Kopf" 1 und das Ergebnis "Zahl" 0.

Dann gibt es folgende Möglichkeiten:

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Dann haben wir nur einen von

16

möglichen Fällen, dass 4 mal hintereinander Zahl kommt (nämlich

0000),

aber

15

von

16

möglichen Fällen, dass zumindest einmal Kopf kommt (alle Folgen mit zumindest einer

1)

.

Folglich bei 4 Würfen:

P

(mindestens einmal Kopf)

= \frac{15}{16}

P

(immer Zahl)

= \frac{1}{16}

Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten

= 1

Bei 5 Würfen ergäbe sich entsprechend:

P

(mindestens einmal Kopf)

= \frac{31}{32}

P

(immer Zahl)

= \frac{1}{32}

Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten

= 1

6 Würfe:

P

(mindestens einmal Kopf)

= \frac{63}{64}

P

(immer Zahl)

= \frac{1}{64}

7 Würfe:

P

(mindestens einmal Kopf)

= \frac{127}{128}

P

(immer Zahl)

= \frac{1}{128}

Man sieht, dass bei wachsender Wurfzahl

P

(mindestens einmal Kopf) immer größer und

P

(immer Zahl) immer kleiner wird, und dass die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten stets 1 ist.

⋆ ⋆ \cdot

Also handelt es sich um Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit.

⋆ ⋆ \cdot

Jetzt nochmal sehen, ob dieses Ergebnis

(7

Würfe) auch hinkommt mit der Formel

{(\frac{1}{2})}^{x} \leq 1 % = \frac{1}{100}

{(\frac{1}{2})}^{7} = \frac{1^{7}}{2^{7}} = \frac{1}{128} \leq \frac{1}{100}

Stimmt.

⋆ ⋆ \cdot

Deine Herangehensweise zur Auflösung der Formel mittels natürlichem Logarithmus ist korrekt, allerdings

⋆ ⋆ \cdot

musst Du bei der Division durch eine negative Zahl das Kleiner-Zeichen umdrehen.
Man siehe

z . B

5 \cdot (- 2) < - 9

5 > \frac{- 9}{- 2} = \frac{9}{2}

Dann ergibt sich in Deiner Rechnung

x > 6,6

und das entspricht ja der Lösung

x = 7,

die wir eben überprüft haben.

Ich hoffe, dass es jetzt etwas klarer geworden ist.

Besten Gruß
Andreas

yanii18 aktiv_icon

22:33 Uhr, 24.03.2010

Ja! Jetzt hab ich es verstanden.

Vielen Dank für deine Mühe und deine Hilfe!

Liebe Grüße
Yan

bruce57 aktiv_icon

22:37 Uhr, 24.03.2010

Prima - gern geschehen!

LG
Andreas

bruce57 aktiv_icon

22:50 Uhr, 24.03.2010

Nachtrag :-)

Vielleicht solltest Du im Zweifelsfalle sogar die

6,6

statt die 7 als Lösung nehmen. Bei einem "Versuch" sind es zwar 7 Münzwürfe, aber wenn man das Ganze

10, 100,

1000mal durchführt, nähert sich die Anzahl der Würfe natürlich der

6,6

Alles Gute
Andreas

yanii18 aktiv_icon

23:29 Uhr, 24.03.2010

Ok mach ich! Danke schön! :-)

LG
Yan

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