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Stochastik im Bezug auf die Anzahl von Taxen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Binomialverteilung, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

lutz-92 aktiv_icon

20:24 Uhr, 20.03.2012

Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

"Taxistand:

An einem Taxistand sind

10

Taxen stationiert. Ein Fahrzeug steht pro Stunde durchschnittlich

12

Minuten auf dem Stand.

a)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist zu einem bestimmten Zeitpunkt mehr als ein Taxi anzutreffen?

b)

Welche Zahlt von Taxen ist am häufigsten anzutreffen?

c)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind gleich mehrere Taxen am Stand anzutreffen?"

Ich habe schon mal gegoogelt, aber nur eine abgewandelte Form dieser Aufgabe gefunden. Die

a)

glaube ich ja schon gelöst zu haben, nur bei

b)

und

c)

komme ich nicht vorwärts...

Meine bisherigen Lösungsansätze:

n = 10;

die Wahrscheinlichkeit ein Taxi anzutreffen

p = \frac{1}{5}

a) P (E) = 1 - P (x = 0)

= 1 -

10_über_0*1/5^0*4/5^10

= 0,8926 = 89,26 %

b)

bei dieser Aufgabe habe ich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für

x

aufgestellt und den Erwartungswert an diesem Stand ausgerechnet. Mein Ergebnis war seltsamerweise

11,

was doch eigentlich nicht sein kann, oder doch?

und zur

c)

ist mir noch nichts eingefallen.

Für Tipps oder sonstige Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

Matlog aktiv_icon

20:45 Uhr, 20.03.2012

Hallo Lutz,

bei

a)

hast Du die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Taxi ausgerechnet.
Vielleicht heißt die Aufgabe ja auch so, denn sonst sehe ich keinen Unterschied zu

c)

.

Erwartungswert

11

? Dann muss da wohl noch ein Alien-Taxi dabei sein!
Allgemein ist der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung

n \cdot p,

also hier 2.
Den Erwartungswert zu berechnen ist zwar nicht unlogisch, aber nicht ganz richtig.
Der Erwartungswert ist ein durchschnittlicher Wert, gefragt ist aber nach dem Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit (Modalwert genannt).
Da Du die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt hast, musst Du da doch nur den Wert mit der größten W. raussuchen. Vermutlich ist das bei 2. Das ist allgemein aber nicht zwingend.

c)

kannst Du wie Deine

a)

über das Gegenereignis ausrechnen! Das schaffst Du!

lutz-92 aktiv_icon

21:12 Uhr, 20.03.2012

Hey Matlog,

danke, für die schnelle Antwort. Bei

a)

heißt es tatsächlich "mindestens". Von daher dürfte ich da keinen Fehler gemacht haben, oder?
So Aufgaben sind echt gefährlich. Eigentlich hapert es nur wegen einem Denkfehler oder weil man nicht genau genug gelesen hat... :-)
Zur

b) :

Du hast ja den Modalwert erwähnt. Seltsamerweise wurde das Wort bei uns im Unterricht nie erwähnt, habe mich aber gerade ein wenig schlau gemacht. Das bedeutet doch, dass die die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechne, dass 1 Taxi am stand ist, dass 2 Taxen am Stand sind usw. . Letztenendes vergleiche ich die Werte und ziehe mein Fazit, oder?
Damit dürfte es dann doch am wahrscheinlichsten sein 1 Taxi dort anzutreffen. Weil bei 2 Taxen würde die Wahrscheinlichkeit ja schon

\frac{1}{25}

betragen dürfte und es immer zunehmend mit

\frac{1}{5}

multipliziert wird, oder?

Bei der

c)

würde ich jetzt

p (x \geq 1) = 1 - p (X = 0) - p (X = 1)

rechnen...

Vielen Dank für deine Hilfe.

Matlog aktiv_icon

21:25 Uhr, 20.03.2012

Da ist fast alles richtig, was Du schreibst.
Nur die Wahrscheinlichkeit für 2 Taxen usw. ist falsch.
Du musst genau wie Du in

a)

gerechnet hast

P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

benutzen, hier also

n = 10, p = 0.2

und

k = 2

Treffer.
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung musst Du diese Formel für alle

k = 0, ...,10

verwenden. Vielleicht kam dadurch auch Dein origineller Erwartungswert zustande.

Der Modalwert wird in der Schule meist nicht behandelt. Man kann ihn (bei hier üblichen "diskreten" Verteilungen) meist schlecht berechnen, aber durch Vergleich bestimmen.

Matlog aktiv_icon

21:33 Uhr, 20.03.2012

Ich sehe gerade noch einen kleinen Fehler:
Für Aufgabe

c)

musst Du

P (X > 1) = . .

. berechnen, nicht

\geq

Das war aber nur ein Schreibfehler. Man sieht, dass Du es verstanden hast!

lutz-92 aktiv_icon

21:47 Uhr, 20.03.2012

Cool, danke für deine Hilfe! Manchmal braucht man echt jemanden, der einem auf die Sprünge hilft.

Die Wahrscheinlichkeiten kann man bei

b)

ja in der Tabelle für die Binomialverteilung ablesen. Das hat ergeben, dass -wenn ich mich nicht verguckt habe- die Wahrscheinlichkeit für 2 Taxen am größten ist.

Und bei

c)

habe ich als Wahrscheinlichkeit

62,4 %

raus, was auch im Verhältnis zu den bisherigen Ergebnissen stehen dürfte.
Was ist aber genau der Unterschied zwischen

<

und

\leq

? Das hätte für mich hier beides Sinn gemacht..

Noch mal vielen Dank, Matlog!

Matlog aktiv_icon

21:57 Uhr, 20.03.2012

Prima! Die Ergebnisse stimmen.

1 \geq 1

ist eine wahre Aussage,

1 > 1

eine falsche.
Trefferzahl

X \geq 1

bedeutet

1,2,3, . .

. Treffer.
Da nur ganze Zahlen als Trefferzahlen in Frage kommen, bedeutet

X > 1

aber

2,3,4, . .

. Treffer. Hier ist also

X > 1

dasselbe wie

X \geq 2

(aber nur hier).
Genauso musst Du bei Ereignissen immer auf den Unterschied zwischen "mindestens 1" und "mehr als 1" achten!

lutz-92 aktiv_icon

22:17 Uhr, 20.03.2012

Super! Wieder etwas dazu gelernt! Danke! :-)

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