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Stochastikaufgaben Musterlösungen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Musteraufgabe, Musterlösung, Oberstufe, Stochastik

Lome123 aktiv_icon

18:42 Uhr, 24.02.2013

Hallo ihr Lieben. Ich habe ein Problem. Ich habe zwei Aufgaben, an denen ich komplett feststecke, könntet ihr mir die Lösungen genauer erläutern?

Hier die erste Aufgabe:

Eine Urne enthält eine schwarze und vier rote Kugeln. Es werden nacheinander

10

Kugeln gezogen, wobei nach jedem Zug die Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird.

a)

Wie viele schwarze Kugeln sind zu erwarten?

b)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ergebnisse:

A :

"Genau zwei Kugeln sind schwarz"

B :

"Nur die erste Kugel ist schwarz"

C :

"Genau vier Kugeln sind schwarz"

D :

"Mindestens zwei Kugeln sind schwarz"

E :

"Höchstens zwei Kugeln sind schwarz"

F :

"Mindestens zwei, aber höchstens fünf Kugeln sind schwarz"

c)

Wie viele Kugeln müssen mit Zurücklegen mindestens gezogen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von

95 %

erwartet werden kann, dass mindestens eine schwarze dabei ist?

d)

Es wird folgendes Spiel angeboten: Der Spieler erhält 4€, wenn 9 der

10

gezogenen Kugeln rot sind. Bei

10

roten Kugeln erhält er 8€. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

Was habe ich von dieser Aufgabe schon gelöst? Nicht viel.

zu

a)

Wir haben die Formel

μ = n \cdot P

n =

Versuche,

p =

Wahrscheinlichkeit Treffer
Also müsste die Lösung heißen:

μ = 10 \cdot 1 / 5

μ = 2

b)

A : -

keine Ahnung

B :

wir haben wie Formel für "mit Zurücklegen, Reihnfolge wichtig" sie lautet:

n^{k}

Also müsste die Lösung sein

10^{1} /^{5}

Ich verstehe aber nicht, wie in dieser Formel die Reinfolge beachtet wird. Meiner bescheidenen Meinung nach ja gar nicht.

C : -

keine Ahnung

D : -

keine Ahnung

E : -

keine Ahnung

F : -

keine Ahnung

zu

c) -

keine Ahnung
zu

d) -

keine Ahnung

So viel (oder wenig) zur ersten Aufgabe.

Zweite Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 4 rote, 6 gelbe und

10

blaue Kugeln. Es werden

n

Kugeln mit zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße

X

beschreibt die Anzahl der roten Kugeln,

Y

die Anzahl der gelben unter den gezogenen.

a)

Sei

n = 8

A :

Skizzieren sie die zugehörige Binominalverteilung der Zufallsgröße

X

B :

Berechnen sie den Erwartungswert und die Standartabwechung von

X

C :

Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet der tatsächliche Wert von

X

den Erwartungswert

E (X)

b)

Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert der Zufallsgröße

Y

größer als 5 ist? Wie groß ist dann die Varianz von

Y

c)

Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert von

Y

mindestens 1 ist, wie viele damit er genau 1 ist?

d)

wie Wahrscheinlich ist die Zugreinfolge RRGBB bei

n = 8

?

was ich bereits gelöst habe:

zu

a)

A :

Das kann man ja ganz einfach in der Binomialverteilungstabelle ablesen. Dazu braucht man nur n(Versuche)=8 und p(Wahrscheinlichkeit Treffer)=

0,2

B :

Erwartungswert:

μ = n \cdot p

also

μ = 8 \cdot 0,2

Standartabweichung:

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}

also

σ = \sqrt{8 \cdot 0,2 \cdot (1 - 0,2)}

C : -

keine Ahnung

zu

b) -

keine Ahnung
zu

c) -

keine Ahnung
zu

d) -

keine wirkliche Ahnung, sollte aber mit einem Baumdiagramm theoretisch funktionieren, aber fast unmöglich zu zeichnen sein (Platz)

Ihr seht also, mein Können ist jetzt nicht überragend. Es wäre wirklich super nett, wenn mir jemand die Dinge, die ich nicht kann, einmal vorrechnen könnte, damit ich den Hergang verstehe und ihn auf andere Aufgaben anwenden kann.

Liebe Grüße und schon mal ein dickes, fettes Danke,
Lara

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Ma-Ma aktiv_icon

18:52 Uhr, 24.02.2013

Bitte zu jeder Aufgabe immer einen neuen Thread aufmachen, wird sonst zu unübersichtlich. (Also die zweite Aufgabe in einen neuen Thread schieben.)

Es ist auch wenig hilfreich für Dich, wenn Du an verschiedenen Aufgaben parallel arbeitest, lieber erstmal eine fertig machen und sich dann auf die nächste konzentrieren.

So, zur ersten Aufgabe.

a)

Erwartungswert korrekt.

b) A :

genau zwei Kugeln sind schwarz

\to

Bernoulligleichung
Ziehungen

n = 10, p = \frac{1}{5},

Treffer

k = 2

B :

Baumdiagramm ist hilfreich.

C :

Vom Prinzip her wie

A :

nur eben 4 Treffer

Wenn Du das hast, dann können wir uns den Rest anschauen.

Lome123 aktiv_icon

19:20 Uhr, 24.02.2013

Vielen Dank für deine schnelle Antwort :-)

Es freut mich, dass ich wenigstens etwas richtig habe.

also zu

b) A :

Dann Bernoulli:

P (X = k) = n ℂ k \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

? In diesem Fall also

P (X = 2) = 8 ℂ 2 \cdot {(\frac{1}{5})}^{2} \cdot {(1 - \frac{1}{5})}^{8 - 2}

? Dann habe ich als Lösung gerundet

0,29

. Also ungefähr

29 %

.

zu

B :

also

{(\frac{1}{5})}^{1} \cdot {(\frac{4}{5})}^{4} =

gerundet

0,08

? Also ca.

8 %

? Aber berücksichtigt man da die Reinfolge? Man kann ja beide Komponenten auch vertauschen, also

{(\frac{4}{5})}^{4} \cdot {(\frac{1}{5})}^{1}

. Dann würde man doch berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass die letzte schwarz ist. Oder ist das egal, weil Anfang/Ende ja irgendwie das selbe ist?

zu

C :

also das selbe in grün: Bernoulli:

P (X = k) = n ℂ k \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

In dem Fall

P (X = 4) = 8 ℂ 4 \cdot \frac{1}{5^{4}} \cdot {(1 - \frac{1}{5})}^{8 - 4}

? Dann habe ich dort gerundet

= 0,05

heraus, also ungefähr

5 %

Ma-Ma aktiv_icon

19:29 Uhr, 24.02.2013

b)

A:-) Noch zu Bernoulli.

Schaue nochmal GENAU auf

n \to

Anzahl der Ziehungen ! Du hast ein falsches

n

eingesetzt !

B :

Bernoulli berechnet ALLE möglichen Pfade, um 1 schwarze Kugel zu ziehen.
Ich wiederhole mich: Baumdiagramm zeichnen, um auf die Lösungsformel zu kommen !

Ma-Ma aktiv_icon

19:36 Uhr, 24.02.2013

Nachtrag zu

B :

Deine Formel ist richtig.

- - - - - - - - - - -

Du hast auch richtig erkannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die schwarze Kugel zuletzt gezogen wird, genauso ist.

Ich könnte wetten, dass die Wahrscheinlichkeit, die schwarze Kugel an zweiter Stelle zu ziehen, ebenfalls genauso ist

. .

.

*schmunzel*

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Bernoulli: Der Binomialkoeffizient am Anfang (1.Term) berechnet , auf wievielen verschieden Pfaden die Treffer zustande kommen (ist Multiplikationsfaktor).
Dich interessiert aber nur EIN Pfad ! Also

S R R R R,

somit ist der Multiplikationsfaktor

= 1

- - - - - - - - - -

Lome123 aktiv_icon

20:01 Uhr, 24.02.2013

Huch, da ist es passiert, genau wie Du gesagt hast. Ich habe beide Aufgaben in einander gemixt. Bei der zweiten Aufgabe ist

n = 8

. Bei dieser Aufgabe muss es natürlich

10

sein, weil

10

mal ziehen angesagt ist.

Die korrekte Antwort wäre dann bei

A : 0,30

also

30 %

(so viel???) und bei

C : 0,09

also

9 %

.

Hmm, ich brüte schon die ganze Zeit über diesem

S ℝ ℝ,

das hatten wir so noch gar nicht. Habe mal ne Weile gegooglt, aber da erklärt irgendwie jeder was anderes. Aber du meintest der Weg ist richtig? Ich habe auch ein Baumdiagramm dazu gezeichnet. Da war dann ein mal

\frac{1}{5}

und vier mal

\frac{4}{5}

. Das habe ich dann halt zusammengefasst mit Hochzahlen.

Lome123 aktiv_icon

20:03 Uhr, 24.02.2013

Nachtrag: Ah, du hast

S ℝ ℝ \in S R R R R

geändert, bezieht sich also auf schwarz und rot und nicht auf irgendwelche Formeln :-D)

Ma-Ma aktiv_icon

20:09 Uhr, 24.02.2013

JA, ich habe zwischen die einzelnen Buchstaben ein Leerzeichen gesetzt, davor ich ich es nicht und es kam zu einem unerwünschten Nebeneffekt.

Ich hab

A)

noch nicht nachgerechnet, werde ich nachher mal tun.
Ich glaube aber, das Prinzip ist Dir klar.

- - - - - - - - -

Gehen wir zu E:"Höchstens zwei Kugeln sind schwarz"

Höchstens 2 schwarze Kugeln

\to

Bernoulli mit Treffer

k = 0

und

k = 1

und

k = 2

.
Nunja, du weisst, wenn man sagt ODER, dann werden die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.
Also 0 Treffer ODER 1 Treffer ODER 2 Treffer.

Kommst Du klar ?

Lome123 aktiv_icon

20:18 Uhr, 24.02.2013

Ich denke schon, also einfach

P (X = 0) = 10 ℂ 0 \cdot {(\frac{1}{5})}^{0} \cdot {(1 - \frac{1}{5})}^{10 - 0} + P (X = 1) = 10 ℂ 1 \cdot {(\frac{1}{5})}^{1} \cdot {(1 - \frac{1}{5})}^{10 - 1} + P (X = 2) = 10 ℂ 2 \cdot {(\frac{1}{5})}^{2} \cdot {(1 - \frac{1}{5})}^{10 - 2} =

gerundet

0,68

also ca.

68 %

Das ist ganz schön viel. hätte ich gar nicht gedacht.

Bei der Aufgabe MINDESTENS 2 muss man, denke ich, dann die Einzelwahrscheinlichkeiten von 2 Treffern, 3 Treffern, 4 Treffern etc. addieren?

Ma-Ma aktiv_icon

20:26 Uhr, 24.02.2013

Das Prinzip ist klar.
(Ich werde einige Sache nchrechnen, aber nicht alle.)

D :

"Mindestens zwei Kugeln sind schwarz"
Treffer

k =

?

Schreib mal die k-Werte auf.

- - - - - - - -

(Wenn Dir sympathischer, so kannst Du auch die Gegenwahrscheinlichkeit benutzen.aber am Anfang vielleicht etwas schwieriger.)

- - - - - - - - -

Lome123 aktiv_icon

20:32 Uhr, 24.02.2013

Ehm meinst Du mit Gegenwahrscheinlichkeit einfach, dass ich bei Bernoulli statt

{(1 - \frac{1}{5})}^{x}

nur

{(\frac{4}{5})}^{x}

schreibe? Oder Dass man von

68 %,

also der Lösung von "höchstens 2 schwarze" einfach den Rest nehme, also

32 %

und dass dann die Lösung für "mindestens 2 schwarze" ist. Das wäre ja irgendwie zu einfach.

Ma-Ma aktiv_icon

20:40 Uhr, 24.02.2013

D :

"Mindestens zwei Kugeln sind schwarz"
Treffer

k = 2, k = 3, k = 4, k = 5

- - - - - - - - - -

Gegenwahrscheinlichkeit:

\to

Höchstens 1 schwarze Kugel

k = 0

und

k = 1

- - - - - - - - - -

Wahrscheinlichkeit

+

Gegenwahrscheinlichkeit

= 1

Wahrscheinlichkeit

= 1 -

Gegenwahrscheinlichkeit

Rechenweg:

1)

Gegenwahrscheinlichkeit ausrechnen

2)

Subtraktion ausführen

Lome123 aktiv_icon

20:50 Uhr, 24.02.2013

Ich dachte, weil man 10mal zieht, müsste man

k = 2, k = 3, k = 4, k = 5, k = 6, k = 7, k = 8, k = 9, k = 10

ausrechnen. Da würde sich die Gegenwahrscheinlichkeit ja wirklich anbieten. Das geht ja viel schneller.

Also:

P (k = 0) \approx 0,11

also

11 %, P (k = 1) \approx 0,27

also

27 %

addiert man

11 % + 27 % = 38 %

38 %

ist also die Wahrscheinlichkeit

max

. 1 schwarze zu bekommen. Die Wahrscheinlichkeit mehr als eine, also mindestens 2 zu bekommen müsste somit bei

62 %

liegen.

Ma-Ma aktiv_icon

20:56 Uhr, 24.02.2013

OOOOps, ich war bei

5 x

Ziehen

. .

. ist natürlich falsch

\to 10

Ziehen ist richtig !
Du hast vollkommen richtig argumentiert.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Schaue nochmal zu

B :,

da hatte ich nur

5 x

Ziehen angenommen. Richtig ist natürlich

10 x

ziehen ! Also Rechnung auf Deinem Zettel korrigieren.

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Jetzt verbleibt nur noch

F :

"Mindestens zwei, aber höchstens fünf Kugeln sind schwarz"

k =

Lome123 aktiv_icon

21:04 Uhr, 24.02.2013

Ah, ja, da hat sich der Fehler auch eingeschlichen bei mir. 5 Kugeln,

10

mal ziehen ist aber auch blöd.
Bei

b

muss es also

{(\frac{1}{5})}^{1} \cdot {(\frac{4}{5})}^{9} \approx 0,02 = 2 %

Hmm bei

F :

müsste man die Wahrscheinlichkeit von mindestens 2 zu der Wahrscheinlichkeit von maximal 5 addieren, oder? Also

k = 2, k = 3, k = 4, k = 5

Ma-Ma aktiv_icon

21:06 Uhr, 24.02.2013

E :

"Höchstens zwei Kugeln sind schwarz"

P = 67,78 %

laut Tabelle (Formelsammlung)
Dein Ergebnis mit

P = 68 %

passt.

(Ich rechne nicht, sondern lese die Ergebnisse aus der Formelsammlung ab. Kannst Du in ein paar Wochen auch.)

Lome123 aktiv_icon

21:22 Uhr, 24.02.2013

Das ist doch was, stimmt meine Vermutung zu

F

Ma-Ma aktiv_icon

21:25 Uhr, 24.02.2013

Vermutung zu

F

ist allererste Sahne !

Lome123 aktiv_icon

21:27 Uhr, 24.02.2013

Super, ich glaube das Prinzip habe ich endgültig verstanden. Dafür schon mal vielen, vielen Dank!
Hast Du noch ein bisschen Zeit auch den Rest mit mir zu klären? Das wäre wirklich klasse.

Ma-Ma aktiv_icon

21:39 Uhr, 24.02.2013

D

passt auch. Gegenwahrscheinlichkeit laut Tabelle

37,58 %

- - - - - - - - - -

Kleiner Trick von mir:
Ich male mir gerne einen Streifen und trage

k

ein, hier

z . B k = 0, k = 1

bis

k = 10

.
Je nach Aufgabe markiere ich die Treffer und sehe sofort, mit welchen

k

gerechnet werden muss.
Diese Prinzip ist besonders hilfreich, wenn Du später mit Summierten (kumulierten) Wahrscheinlichkeiten rechnest.

- - - - - - - - - - -

Jetzt zu

c)

Stichworte:

\to

Bernoulli

\to

mindestens eine schwarze

\to P = 95 %

\to

Gegenwahrscheinlichkeit

\to

keine schwarze

P = 5 %

Baue eine Bernoulliformel, wo erwartete Wahrscheinlichkeit

P = 5 %

und null Treffer von schwarz

(p = 0,2)

mit einfließen

...

Lome123 aktiv_icon

21:57 Uhr, 24.02.2013

Super, ja das mit dem Streifen mache ich glaube ich auch so, das ist wirklich praktisch, da hast du recht.

Hmm ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich an die Formel rangehen soll.
Ich habe gedacht, das man erstmal von

10

mal ziehen erstmal

95 %

nimmt, also

9.5

Treffer. Aber da meckert der Taschenrechner. Hmm ich schwimme da momentan total.

Ma-Ma aktiv_icon

22:08 Uhr, 24.02.2013

Sorry, Generation TR, da muss ich schmunzeln

. .

.

Ich greife meine Stichworte auf

\to

Bernoulli

B = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

n

ist unbekannt
Gegenwahrscheinlichkeit

\to

keine schwarze Kugel

= P = 5 %

und

k = 0

Trefferwahrscheinlichkeit schwarze Kugel

p = 0,2

Soweit klar ?

Nun einfach einsetzen

...

0,05 = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0,2}^{0} \cdot {0,8}^{n - 0}

Jetzt Du:

1)

Was ist

{0,2}^{0} \to

Potenzgesetze:

a^{0} =

2)

Was ist

(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \to

Formelsammlung Binomialkoeffizient

Lome123 aktiv_icon

22:19 Uhr, 24.02.2013

Ja, die Taschenrechnerfrage. Die beschäftigt uns in der Schule jeden Tag. Unser alter Mathelehrer hat das Ding verteufelt. Da durften wir den nie benutzen. Unser jetziger sagt: "Alles in den TA eingeben, selbst

2 \cdot 5

. Der TA hat immer recht und macht keine Fehler" Kann man sich sicher drüber streiten.

Aber zurück zur Frage:

{0,2}^{0}

müsste 1 sein.

n ℂ 0

ist laut Formelsammlung auch 1

Also müsste die Formel dann lauten

0,05 = 1 \cdot 1 \cdot {0,8}^{1 - 0} = 0,08

????

Als da ist bei mir eine absolute Blockade.

Ma-Ma aktiv_icon

22:30 Uhr, 24.02.2013

TR: An der Uni gibt es Klausuren, wo TR nicht erlaubt ist

. .

. Willst Du später studieren, versuche den TR bei einfachen Aufgaben zu vermeiden, wie

z . B

. bei

a^{0} = 1

- - - - - - - -

Wie schreibt man den Binomialkoeffizienten hier ? "((n),(0))" allerdings ohne Anführungszeichen.

- - - - - - - - -

Die Formel sieht doch schon fast gut aus !

0,05 = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0,2}^{0} \cdot {0,8}^{n - 0}

Beachte den letzten Term und unsere Abweichungen !

0,05 = 1 \cdot 1 \cdot {0,8}^{n}

0,05 = {0,8}^{n}

Beide Seiten

ln

ln (0,05) = {ln (0,8)}^{n}

ln (0,05) = n \cdot ln (0,8)

\to

Zum Verständnis der Umformung

\to

Blick in die Logarithmengesetze hilft!

n =

Lome123 aktiv_icon

22:39 Uhr, 24.02.2013

Sorry, ich merke, Du gibst Dir ganz viel Mühe, aber ich habe einfach überhaupt keine Ahnung. Ich verstehe nur Bahnhof. Können wir das sonst vielleicht überspringen? Das verwirrt mich nämlich so, dass das alles andere ins wanken bringt. Wir haben uns mit Logarithmen auch noch nicht beschäftigt.

Ma-Ma aktiv_icon

22:46 Uhr, 24.02.2013

Logarithmen

\to

10.Klasse

Du willst zum nächsten Punkt springen ?

Lome123 aktiv_icon

22:51 Uhr, 24.02.2013

Ok, dann habe ich das wohl komplett verpasst. Da besteht dann dringender Nachholbedarf.
Ich weiß nicht, die Formel das zu berechnen ist zwar wichtig, aber ich habe keine Ahnung, wie ich sie entwickeln soll.

: /

Von da an denke ich, dass mir gar nichts anderes übrig bleibt.

Ma-Ma aktiv_icon

22:58 Uhr, 24.02.2013

d)

Es wird folgendes Spiel angeboten: Der Spieler erhält 4€, wenn 9 der

10

gezogenen Kugeln rot sind. Bei

10

roten Kugeln erhält er 8€. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

Ansatz von Dir ?
Schaue einfach mal in Dein Schulbuch, da gibt es sicherlich diverse Beispiele

. .

Lome123 aktiv_icon

23:12 Uhr, 24.02.2013

Ehm. In meinem Schulbuch steht

z . B

. In einem fairen Spiel sind beide Erwartungswerte gleich. Die Erwartungswerte werden hier berechnet, in dem man Gewinnhöhe mit Gewinnerwartung multipliziert.

Hmm das müsste dann ja beim Bespiel 4€ wenn man 9 von

10

Kugeln rot hat so lauten:

P (X = 9) = 10 ℂ 9 \cdot {(\frac{4}{5})}^{9} \cdot {(\frac{1}{5})}^{1} \approx 0,27

das dann mal die 4€

0,27 \cdot 4 \approx 1,07

???

Das Spiel ist fair, wenn der Einsatz 1,07€ beträgt? Aber was meint das Buch mit beide Erwartungswerte?

Lome123 aktiv_icon

23:16 Uhr, 24.02.2013

Obwohl nein. Erwartungswert ist ja

μ = n \cdot p

Also

n \cdot p \cdot 4

€

= 10 \cdot \frac{4}{5} \cdot 4

€

= 32

???

Ma-Ma aktiv_icon

23:24 Uhr, 24.02.2013

Du benötigst die Wahrscheinlichkeit, dass 9 von

10

Kugeln rot sind und die Wahrscheinlichkei, dass

10

von

10

Kugeln rot sind.

Lome123 aktiv_icon

23:29 Uhr, 24.02.2013

Ok, die Wahrscheinlichkeit, dass neun von zehn Kugeln rot sind, beträgt

10 ℂ 9 \cdot {(\frac{4}{5})}^{9} \cdot {(\frac{1}{5})}^{1} \approx 0,27

also

27 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass zehn von zehn Kugeln rot sind, beträgt

10 ℂ 10 \cdot {(\frac{4}{5})}^{10} \cdot {(\frac{1}{5})}^{0} \approx 0,11

also

11 %

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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