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Streichhölzerspiele

Schüler Gymnasium, 7. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik

 
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matheschueler

matheschueler aktiv_icon

12:10 Uhr, 20.10.2009

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Elli und Lukas spielen folgendes Spiel: Aufdem Tisch liegen 16 Streichhölzer. Abwechselnd müssen Elli und Lukas jeweils ein oder zwei Streichhöler wegnehmen. Wer die letzte Streichhölzer nimmt, hat gewonnen. Elli beginnt.
a) Kann Elli den Sieg erzwingen? Wenn ja warum?
b) Es liege nun eine vorgebene Anzahl n von Streichhölzer auf dem Tisch. Für welchen n kann Elli den Sieg erzwingen?Begründe!
c) Nun liegen n Streichhölzer auf dem Tisch und es müssen ein oder fünf Streichhölzer genommen werden. Für welchen n kann Elli den Sieg erzwingen, für welche nicht? Begründe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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bruchspezialistin

bruchspezialistin aktiv_icon

14:21 Uhr, 20.10.2009

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a) Fange das Spielchen anders herum an. Wie viele Streichhölzer sollten im letzten Zug von Lukas auf dem Tisch liegen, damit Eli auf jeden Fall gewinnt? Wie kann Eli es also hinbekommen, dass immer so viele Hölzer übrigbleiben?
matheschueler

matheschueler aktiv_icon

17:32 Uhr, 20.10.2009

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Für a) weiß die Lösung, aber bei b) bin ich mir nicht sicher.
C) weiß ich überhaupt nicht.
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anonymous

anonymous

12:12 Uhr, 21.10.2009

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zu a)
Elli muss 1 Streichholz nehmen (Rest 15).
Anschließend nimmt sie
> ein Streichholz, falls Lukas zuvor zwei genommen hat,
> zwei Streichhölzer, falls Lukas zuvor eines genommen hat.
D.h. nach jedem Zug von Lukas und Elli fehlen drei Streichhölzer.
D.h.
nach Ellis 2. Zug: Rest 12
nach Ellis 3. Zug: Rest 9
nach Ellis 4. Zug: Rest 6
nach Ellis 5. Zug: Rest 3
nach Ellis 6. Zug: Rest 0
D.h. Elli kann erzwingen, das letzte Streichholz zu ziehen - und damit zu gewinnen.

zu b)
m sei Element der natürlichen Zahlen.
b.1)
n=3⋅m+1
Elli (d.h. die Erst-Ziehende) muss zunächst 1 Streichholz ziehen, und dann in jedem Folgezug ein Vielfaches von Drei als Rest übrig lassen. So kann sie den Sieg erzwingen (s.⊙).
b.2)
n=3⋅m+2
Elli muss zunächst 2 Streichholz ziehen, und dann in jedem Folgezug ein Vielfaches von Drei übrig lassen. So kann sie den Sieg erzwingen.
b.3)
n=3⋅m+3
Elli hat die Wahl, ein oder zwei Streichhölzer zu ziehen. D.h. Lukas findet einen Rest von 3⋅m+2 oder 3⋅m+1 vor. In beiden Fällen ist Lukas dann in der Rolle, die unter b.1) bzw. b.2) für Elli beschrieben wurde, d.h. Lukas kann den Sieg erzwingen.
Da Lukas so den Sieg erzwingen kann, kann Elli den Sieg nicht erzwingen.

zu c)
Schauen wir zunächst mal, wie es mit nur wenigen Hölzchen aussieht:
n=1; Elli zieht 1 (das letzte) ;⇒ Elli hat gewonnen
n=2; Elli zieht 1, Lukas zieht 1 (das letzte) ;⇒ Elli hat verloren
n=3; Elli 1, Lukas 1, Elli 1;⇒ Elli hat gewonnen
n=4; Elli 1, Lukas 1, Elli 1, Lukas 1;⇒ Elli hat verloren
n=5; Elli 5 oder 1-1-1-1-1;⇒ Elli hat gewonnen
n=6; entweder Elli 1, Lukas 5 oder Elli5, Lukas 1 oder 1-1-1-1-1-1;⇒ Elli hat (stets) verloren
Zwischenergebnis:
bei n=1,3,5 wird Elli gewinnen.
bei n=2,4,6 wird Elli verlieren.

In einem Doppelzug (Elli zieht + Lukas zieht) gibt es nur folgende Möglichkeiten, Streichhölzer zu ziehen:
Elli 1, Lukas 1; gesamt-Entnahme: zwei Streichhölzer
Elli 5, Lukas 1; gesamt-Entnahme: sechs Streichhölzer
Elli 1, Lukas 5; gesamt-Entnahme: sechs Streichhölzer
Elli 5, Lukas 5; gesamt-Entnahme: zehn Streichhölzer
D.h. in einem Doppelzug kann nur eine gerade Anzahl Hölzer entnommen werden!

Ist die ursprüngliche Anzahl n gerade, so wird Elli nach einer Reihe von Doppelzügen auf jeden Fall wieder auf einen geraden Rest treffen, also früher oder später auf einen Rest 2,4 oder 6. D.h. sie wird verlieren (s.⊙).
Ist die ursprüngliche Anzahl n ungerade, so wird Elli nach einer Reihe von Doppelzügen auf jeden Fall wieder auf einen ungeraden Rest treffen, also früher oder später auf einen Rest 1,3 oder 5. D.h. sie wird gewinnen (s.⊙).
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wedernoch

wedernoch

21:16 Uhr, 22.10.2009

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Dies ist Aufgabe 4 des fünften Korrespondenzbriefes im Rahmen des Programms Jugend trainiert Mathematik 2009 für die jetzige Klasse 8. Einsendeschluss 13.11.2009. Dieses Programm fördert überdurchschnittlich mathematisch begabte Kinder. Und bereitet über mehrere Jahre hinweg die besten Mathematikschüler Deutschlands auf die Internationale Mathematik Olympiade vor. Es ist nicht Anliegen dieses Programms, sich die Lösungen der gestellten Aufgaben zu „ergoogeln“. Selber nachdenken ist angesagt. Spätestens im nächsten Jahr kommen die Klausurrunden und du kannst dir die Aufgaben nicht mehr von anderen lösen lassen. Du machst es dir nur jetzt leicht, wenn du alle Aufgaben von anderen lösen lässt, auch solch einfache wie die hier.
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