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Streichholz-Ziehen: Chancen für jeden gleich?

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Statistik

Tags: Statistik

jango aktiv_icon

19:05 Uhr, 15.03.2010

Folgender Fall:

Von 4 Personen sollen zwei Gewinner und zwei Verlierer ermittelt werden. Dazu ziehen wir der Reihe nach Zahnstocher, es gibt zwei kurze und zwei lange. Die Personen, die die kurzen Zahnstocher ziehen, sind die Verlierer, die die die langen ziehen, die Gewinner.

Meine Frage: Hat jeder die gleiche Chance zu gewinnen oder hat die Person, die als erstes zieht, einen Vorteil gegenüber den anderen? Angenommen, Person 1 zieht einen Gewinner-Zahnstocher, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite gewinnt, ja nur mehr

33,3 %,

da Person 2 ja nur mehr einen Gewinner-Zahnstocher sowie zwei Verlierer-Zahnstocher vor sich hat und davon einen auswählen muss. Ist das jetzt unfair für Person

2,

oder hat im Endeffekt trotzdem jeder die gleichen Chancen auf einen Sieg?

Und wie lässt sich das beweisen? Am besten wäre eine grafisch-anschauliche Erklärung, damit man sich das ganze besser vorstellen kann. Im Internet hab ich leider noch keien Erklärung dazu gefunden.

Danke schon im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

xx1943 aktiv_icon

21:33 Uhr, 15.03.2010

Alle haben dieselbe Chance nämlich

50 %

zu den Gewinnern zu gehören.

Am besten zeichnest Du Dir einen Baum mit 4 Stufen

(2^{4} = 16

Ästen).

Für den, der als erster zieht (nennen wir ihn

A)

ist a klar, dass er mit

50 %

Wahrscheinlichkeit gewinnt.

P (A) = \frac{1}{2}

Für den 2. (er soll

B

heißen) gibt es 2 Fälle:

1) A

hat gewonnen, dann ist für

B

die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen nur noch

\frac{1}{3}

(wie Du richtig gesagt hast.

2) A

hat verloren, nun ist für

B

die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen

\frac{2}{3}

.

Insgesamt ist also die Gewinnwahrscheinlichkeit für

B P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

Analog lassen sich für den dritten (C)

4

Fälle unterscheiden:

1) A

und

B

haben beide gewonnen

P (C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0 = 0 C

kann in diesem Fall nur verlieren

2) A

hat gewonnen und

B

hat verloren

P (C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

3) A

hat verloren und

B

hat gewonnen

P (C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

4) A

und

B

haben beide verloren

P (C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{6}

Also

P (C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}

Wie gesagt: Zeichne Dir einen Baum mit

16

Pfaden.

jango aktiv_icon

15:36 Uhr, 16.03.2010

Super, jetzt hab ichs auch verstanden. Danke!

dmi04 aktiv_icon

13:52 Uhr, 24.07.2011

HI Leute
ich hab ein ähnliches Problem. Nur bei mir sind es 6 Personen, die STreichhölzer ziehen und einer zieht das Kurze. Ein Mitspieler behauptet ich der als letztes zieh (also gar nicht zieh, weil vor mir auf jeden Fall des Kurze gezogen wird), hätte die besten Chancen nicht zu verlieren. Stimmt nicht oder?? Kann mir jemand dazu ne logische und einleuchtende erklärung bieten? Vielen Dank

xx1943 aktiv_icon

19:51 Uhr, 25.07.2011

Wenn nicht gemogelt wird, hat jeder der 6 Teilnehmer dieselbe Chance (nämlich

\frac{1}{6}

)das kurze Streichholz zu ziehen.

Auch das lässt sich wieder sehr schön an einem Baum zeigen:

1. Spieler: zieht aus 5 langen und einem kurzen hat also die chance

\frac{1}{6}

zu verlieren
2. Spieler zieht nur, wenn der erste nicht das kurze gezogen hat. Wenn erzieht hat er 4 lange 1 kurzes zur Auswahl. Seine Wahrscheinlichkeit das kurze zu ziehen ist also jetzt

\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{6}

So geht es weiter

Wenn der letzte noch ziehen muss, so sind die 5 langen schon weg und er muss mit

100 % = 1

das kurze ziehen:

\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}

Im übrigen rate ich Dir, für eine neue Frage immer einen neuen thread zu beginnen, dann bekommst Du mehr Antworten.

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