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Summation und Integration vertauschen

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Folgen und Reihen

Funktionenfolgen

Komplexe Analysis

Tags: Folgen und Reihen, Funktionenfolgen, Komplexe Analysis

mathe-mitch aktiv_icon

09:59 Uhr, 18.05.2014

Hallo habe eine "Musterlösung" vom Hiwi zu einer Aufgabe bekommen und bei einem der Gleichheitszeichen komme ich nicht so ganz auf das Argument, warum man das darf:

f

holomorphe Funktion,

z, w \in ℂ, | \frac{z}{w} | < 1,

es ist eine geom Reihe.,

φ : [0,2 π] \to ℂ,

φ (t) \to e

^(-it )

Im Integral heisst es nur über

Φ,

die obere Grenze ist natürlich nicht

0,

aber ich weiss nicht, wie man das richtig eingibt

: (

\int_{φ}^{0} (\frac{f (z)}{z^{n + 1}}) \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} {(\frac{z}{w})}^{k} d z = \sum_{k = 0}^{\infty} \int_{φ}^{0} (\frac{f (z)}{z^{n + 1}}) \cdot {(\frac{z}{w})}^{k} d z

Unterm Strich alles was da passiert ist, dass er die unendliche Summe aus dem Integral rausgezogen hat.
Für eine endliche darf ich das natürlich, für unendliche hatten wir sowas wie: Die Funktionenfolge

f_{k}

muss gleichmäßig gegen

f

konvergieren, naja aber wie soll ich das zeigen, wenn ich nicht mal die funktion

f

kenne...

Tipps wären toll

DrBoogie aktiv_icon

10:13 Uhr, 18.05.2014

"Die Funktionenfolge fk muss gleichmäßig gegen f konvergieren, naja aber wie soll ich das zeigen, wenn ich nicht mal die funktion f kenne"

Musst Du auch nicht,

f

ist doch nur ein Faktor, unabhängig von

k

, also für alle Summanden gleich. Für gleichmäßige Konvergenz brachst Du von

f

nur, dass sie beschränkt in dem Bereich ist, wo Du gleichmäßige Konvergenz brauchst. Und sie ist beschränkt. Deshalb folgt die gleichmäßige Konvergenz aus der gleichmäßigen Konvergenz der geometrischen Reihe.

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