Summe mit Summenzeichen --> Summenformel

Hallo,

du machst keinerlei Angaben, "WIE" die gewünschte "Summenformel" aussehen soll.

Ich sehe nicht was man hier machen soll außer die (ersten paar und das letzte der) Summenglieder explizit anzuschreiben, dazwischen mit "..." (3 Punkte für "usw."), nachdem für n kein Zahlenwert angegeben ist.

MfG

Hallo!

${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{...}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

kann man doch auch als ${\displaystyle \frac{1-{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}{1-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ schreiben.

Nun lautet die Summe aus meinem Anfangspost ja

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{...}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Das b glied habe ich ja oben schon als summenformel angegeben, abier wie mache ich das mit dem a?

Gruß

Christian

Hallo,

die von dir angegebene Formel ist die Formel für die geometrische Reihe, also die Formel für

1 + b + b^2 + ... + b^n (immer PLUS!!).

Bei b^0*b^1*b^2* ... +b^n werden einfach alle Exponenten addiert (Potenzgesetze!), d.h. der Gesamtexponent ist die

Summe aller natürl. Zahlen von 1 bis n, und das ist n*(n+1)/2.

Damit: b^0*b^1*b^2* ... *b^n = b^(n*(n+1)/2)

In der von dir angefragten Summe sind die Potenzen von a absteigen, die von b aufsteigen, aber es gilt immer noch "Punkt vor Strich", d.h. du kannst die Potenzen von b nicht für sich allein "einfach zusammenfassen".

Ich sehe hier keine Möglichkeit, die Summenformel "anders" zu schreiben.

MfG

Hmm.....

Danke für dei Antwort.

Soähnlich hab ich mir das auch schon gedacht...

Aber da muss es doch eine Lösüng geben...

Denke mal dass uns der Prof sonst nicht diese Aufgabe gestellt hätte!

Hallo,

wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung?

MfG

Finden Sie die Summenformel für:

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{...}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Hallo,

damit kann nur - meine ich jedenfalls - genau die Formel gemeint sein, die du ganz am Anfang bereits mitgeteilt hast.

Aufgabe gelöst!

MfG

Ja, aber am Anfang das war ja das ganze mit Summenformel geschrieben, also Aufgabenteil b).

Da mir das leichter gefallen ist, habe ich das zuerst gemacht...

Gruß

Hallo,

irgendwie komme ich mit deinen Formulierungen nicht klar.

Du schreibst, die Aufgabe habe gelautet;

"Finden Sie die Summenformel für: a^n*b^0 + a^(n-1)*b^1 + ... + a^0*b^n", also ausgeschriebene Summe ohne "Summenformel" (was ich verstehe als: ohne Verwendung des Summenzeichens [großes Sigma]}

Und dann:

"Ja, aber am Anfang das war ja das ganze mit Summenformel geschrieben, also Aufgabenteil b)."

Nun wieder doch "mit Summenformel"???? Also was nun? Was ist "Aufgabenteil b)"?

Grundsätzlich:

Es wäre sinnvoll, bei Fragen die vollständige Aufgabenformulierung anzugeben, dann kann man ohne x-maliges Rückfragen gezielt eine Antwort geben und redet nicht ständig (halb) aneinender vorbei. Schließlich kostet die Tipperei Zeit.

MfG

Ok, Sorry, kein problem.

Teil a)

Finden Sie eine Summenformel für:

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{...}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Teil b)

Schreiben Sie die Summe mithilfe des Summenzeichens (habe ich ja bereits gelöst).

Ich versuchs jetzt schon seit mehreren Tagen (und nicht nur ich) und bisher hat keiner ne Lösung zur a).

es muss da doch nen weg geben, das ganze Als Formel zu schreiben.

Für

${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^1*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{...}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}*{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

kann man ja auch

${\displaystyle \frac{1-{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}{1-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

schreiben, das würde uns sogar als 'Hinweis' zur Aufgabe gegeben.

Gruß

Hallo,

vorweg:

bei deinem Beispiel müssen die Sternchen (Multiplikationszeichen) durch Pluszeichen ersetzt werdeb sonst stimmt die Summenformel nicht.

Zu deiner Aufgabe:

Vorbemerkung zur Schreibweise: Das Zeichen ^ bedeutet "hoch", also:

a^5 bedeutet "a hoch 5"

Ich habe in meiner Schulzeit

a^ 3 - b^3 = (a - b )*(a^2 + ab + b^2) und

a^ 3 + b^3 = (a + b )*(a^2 - ab + b^2)

als "weitere" binomische Formeln gelernt.

Diese lassen sich auf höhere Potenzen verallgemeinern:

z. B. a^4 - b^4 = (a - b)*(a^3 + a^2*b + a*b^2 + b^3) [nachrechnen!]

Demnach gilt:

(a - b)*(a^n + a^(n-1)*b + a(n-2)*b^2 + ... + a*b^(n-1) + b^n) =

= a^(n+1) - b^(n+1),

woraus folgt:

a^n + a^(n-1)*b + a(n-2)*b^2 + ... + a*b^(n-1) + b^n =

= [a^(n+1) - b^(n+1)]/(a - b).

MfG

Das ist ja genial, kannte ich noch gar nicht!

Ich habs nachgerechnet, und es passt!

Gibts irgendwo ne Quelle wo man sich solche Binome ansehen kann?

Selbst in meiner Papula Formelsammlung steht das nicht drin!

Man findet immer nur die Sachen die man mittel pascalschem dreieck berechnen kann wie zb. (a+b)³, aber nie a³-b³ !!

Würde mich wirklich mal interessieren wo man soetwas nachschlagen kann...

Aber schonmal vielen Dank!

Hallo,

eine Formelsammlung, in der das explizit drin steht, kenne ich auch nicht.

Bei dieser Aufgabe war ich zunächst auch buchstäblich "auf der Leitung" gestanden. Nachdem es eine solche "Summenformel" aber offenbar geben musste, habe ich mir das zunächst für n=2 hingeschrieben, und da fiel es mir schlagartig ein, dass ja a^2 + ab + b^2 als Faktor in der Zerlegung von a^3 - b^3 vorkommt.

Das interessante ist ja, dass a^2 + b^2 nicht zerlegbar ist, dagegen ist aber

a^n + b^n für UNGERADES n>=3 schon zerlegbar.

Das tritt auch im Zusammenhang mit der Nullstellenbestimmung von Funktionen auf:

Wenn f(x) die Nullstelle x=x1 hat, so muss f(x) den Linearfaktor (x-x1) enthalten, d.h. dieser Linearfaktor lässt sich (ggf. durch Polynomdivision) abspalten.

Nun hat f(x) = x^n + b^n für UNGERADES n offensichtlich die Nullstelle x = -b.

Also muss sich aus x^n + b^n der Linearfaktor (x + b) abspalten lassen:

x^n + b^n = (x - b)*[x^(n-1) - x^(n-2)b + x^(n-3)b^2 -... +... + b^(n-1)]

Dabei kommen in der eckigen Klammer abwechselnd "+" und "-" vor, wobei gilt: Terme mit einer geraden Potenz von b haben das "+", die mit einer ungeraden Potenz von b das "-", und weil bei UNGERADEM n das (n-1) natürlich gerade ist, hat der letzte Term in der eckigen Klammer, nämlich das b^(n-1), stets ein "+".

x^n - b^n (vgl. deine Aufgabe!) hat stets die Nullstelle x=b, ist also für alle n>=2 zerlegbar.

MfG