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Summe ohne Taschenrechner

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Geometrische Summenformel

linolada aktiv_icon

20:36 Uhr, 28.01.2016

Hallo :-) Ich brauche ein bisschen Hilfe bei der Berechnung einer Summe ohne Taschenrechner.

Die Aufgabe lautet:

\sum_{n = 0}^{49} (\frac{2}{3})^{n}

Mithilfe des Assoziativgesetzes und der geometrischen Summenformel bin ich auf folgendes gekommen:

3 \cdot (- (\frac{2}{3})^{50} + (\frac{2}{3})^{19})

In der Musterlösung ist jedoch dieses Ergebnis aufgeführt:

3 \cdot (\frac{2}{3})^{19} \cdot (1 - (\frac{2}{3})^{31})

Nun würde ich gerne wissen, wo mein Fehler liegt bzw. wie ich es weiter vereinfachen könnte.

Vielen Dank für Eure Hilfe! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Werner-Salomon aktiv_icon

23:58 Uhr, 28.01.2016

Hallo,

Die Musterlösung kann nicht richtig sein. Die Summenformel gibt einen Wert an, der größer als 1 sein muss, da bereits (2/3)^0=1 ist.
Die von Dir angegebene Musterlösung ergibt einen Wert, der sehr viel näher an 0 als an 1 liegt!

Wenn Du nicht weißt, was heraus kommt, so schreibe

\sum_{n = 0}^{49} {(\frac{2}{3})}^{n} = x

ein altbekannter Trick besteht darin, das ganze mit der Basis (also 2/3) zu multiplizieren

\sum_{n = 0}^{49} {(\frac{2}{3})}^{n + 1} = x \cdot \frac{2}{3}

und dann beide Gleichungen von einander abzuziehen.
Versuche es mal selber - das Ergebnis ist:

\sum_{n = 0}^{49} {(\frac{2}{3})}^{n} = 3 - 3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{50}

Gruß
Werner

linolada aktiv_icon

00:37 Uhr, 29.01.2016

Hallo Werner!

Vielen Dank für deine Antwort, allerdings ist mir eben aufgefallen, dass ich einen entscheidenden Fehler gemacht habe! Tut mir leid.

Die eigentliche Aufgabe lautet:

\sum_{18}^{49} (\frac{2}{3})^{n}

Daher habe ich auch die Assoziativregel angewendet mit:

\sum_{0}^{49} (\frac{2}{3})^{n} - \sum_{0}^{18} (\frac{2}{3})^{n}

Danach habe ich die Formel für geometrische Summen angewendet und bin auf den folgenden Bruch gekommen:

\frac{1 - (\frac{2}{3})^{50} - 1 + (\frac{2}{3})^{19})}{\frac{1}{3}}

Dann habe ich es auf die oben genannte Form gebracht.

Danke schon mal im Voraus! :-)

Stephan4

02:29 Uhr, 29.01.2016

Das

\frac{- {(\frac{2}{3})}^{50} + {(\frac{2}{3})}^{19}}{\frac{1}{3}}

kann man so umformen:
Mit dem Kehrwert des Nenners Multiplizieren:

3 \cdot (- {(\frac{2}{3})}^{50} + {(\frac{2}{3})}^{19})

Die Reihenfolge in der Klammer ändern:

3 \cdot ({(\frac{2}{3})}^{19} - {(\frac{2}{3})}^{50})

Etwas hierausheben:

3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{19} \cdot (1 - {(\frac{2}{3})}^{31})

Wenn man das wieder hinein multipliziert, kommt man zurück zur Zeile darüber (als Probe).

Klar?

:-)

Roman-22

02:40 Uhr, 29.01.2016

Mit der geänderten Angabe macht das nun alles mehr Sinn, aber ganz passt es noch immer nicht.

Und die gute Nachricht ist, dass deine Lösung ja ohnedies identisch mit der Musterlösung ist. In letzterer wurde eben noch

{(\frac{2}{3})}^{19}

ausgeklammert. Wenn du diesen Term wieder in die Klammer multiplizierst und dort die beiden Summanden vertauschst, erhältst du genau dein Ergebnis.

Allerdings ist das das Ergebnis von

\sum_{k = 19}^{49} {(\frac{2}{3})}^{k} =

? und nicht von

\sum_{k = 18}^{49} {(\frac{2}{3})}^{k} =

? .

Entweder hast du die Angabe wieder falsch angegeben und der Laufindex beginnt erst bei

19

und nicht schon bei

18,

oder aber deine (und damit auch die Musterlösung) sind falsch. Denn wenn die gesuchte Summe bei

18

beginnt, darfst du in deiner Rechnung nur die Summe bis

17

subtrahieren.

R

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