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Summe über alle ungeraden Zahlen auflösen

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Tags: Gauß Summenformel

Peter25 aktiv_icon

15:55 Uhr, 15.10.2021

Hallo,
ich möchte die Summenformel auflösen. Kann mir jmd helfen?

\sum_{i = 1; i + = 2}^{n} i

Also die Summe aller ungeraden Zahlen.
Ich brauch eine Formel ohne das Summenzeichen. Wie löse ich das hier auf? Kann ich Gauß anwenden?

Danke

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15:58 Uhr, 15.10.2021

de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Summe_%C3%BCber_ungerade_Zahlen

Roman-22

16:13 Uhr, 15.10.2021

>

Kann ich Gauß anwenden?
ja, indem du zB

i = 2 k - 1

schreibst und die Summengrenze entsprechend anpasst.
Du solltest auf

\frac{{(n + 1)}^{2}}{4}

kommen. Natürlich sind bei deinem Absatz nur ungerade Werte für

n

erlaubt.

HAL9000

16:17 Uhr, 15.10.2021

Kreative Bezeichnung

\sum_{i = 1; i + = 2}^{n}

, irgendwie der Informatik entlehnt - aber doch in der Mathematik in dieser Symbolik weitgehend unüblich:

Entweder man arbeitet mit

\sum_{i = a}^{b}

mit ganzen Zahlen

a, b

- und dann werden wirklich ALLE ganzen Zahlen mit

a \leq i \leq b

erfasst - oder aber schreibt

\sum_{i \in I}

und definiert die Indexmengen anderweitig.

Man kann alternativ auch den Summationsindex anpassen: Wählt man

i = 2 j - 1

, so ist dann für ungerade

n

\sum_{i = 1; i + = 2}^{n} i = \sum_{j = 1}^{\frac{n + 1}{2}} (2 j - 1)

Peter25 aktiv_icon

16:21 Uhr, 15.10.2021

Super, vielen Dank Euch!!!

Peter25 aktiv_icon

16:57 Uhr, 15.10.2021

Hab doch noch eine Frage.

Ich kriege jetzt folgendes raus

\sum_{i = 1}^{n} (2 i - 1)

= 2 * \sum_{i = 1}^{n} i - n

= 2 * (n^{2} + n) / 2 - n

= n^{2}

Das Ergebnis ist aber falsch. Wo liegt der Fehler?

Roman-22

17:17 Uhr, 15.10.2021

>

Das Ergebnis ist aber falsch. Wo liegt der Fehler?
Falsch ist es nicht - es ja gerade die Formel aus supporters Link. Nur berechnest du jetzt eine andere Summe, nämlich die aller ungerader Zahlen von 1 bis

2 n - 1

. Du wolltest ursprünglich aber die Summe der ungeraden zahlen von 1 bis

n

.

Deines neues

i,

vor allem aber dein neues

n

haben eine völlig andere Bedeutung als die gleichnamigen Bezeichner in deinem Initialposting.
Ich hab ja geschrieben, dass du die Grenze für die neue Summe anpassen musst und HAL9000 hat dir dann noch die richtige Obergrenze für die neue Summe genannt!

\to \frac{n + 1}{2}

Und damit komnmst du dann eben auf die von mir eingangs genannten

\frac{{(n + 1)}^{2}}{4}

Peter25 aktiv_icon

19:22 Uhr, 15.10.2021

Irgendwie verstehe ich das noch nicht.
Wenn ich die Obergrenze setze, sieht das so aus

\sum_{i = 1}^{(n + 1) / 2} i

.
Damit krieg ich aber nicht das Ergebnis. Auch nicht, wenn ich statt dem i 2i-1 setze.

Wie sieht denn dann die Formel aus?

HAL9000

19:56 Uhr, 15.10.2021

Scheint dir wirklich schwer zu fallen, konzentriert zu bleiben und logisch stringent vorzugehen ... Also nochmal in aller Ruhe:

1.Schritt: Indexsubstitution

i = 2 j - 1

ergibt

\sum_{i = 1; i + = 2}^{n} i = \sum_{j = 1}^{\frac{n + 1}{2}} (2 j - 1)

für ungerade

n \geq 1

.

2.Schritt: Anderweitig hast du die Summenformel

\sum_{j = 1}^{m} (2 j - 1) = m^{2}

bewiesen.

3.Schritt: Du setzt

m = \frac{n + 1}{2}

in die Formel aus 2. ein und bekommst dann insgesamt via 1.

\sum_{i = 1; i + = 2}^{n} i = {(\frac{n + 1}{2})}^{2} = \frac{{(n + 1)}^{2}}{4}

Peter25 aktiv_icon

20:28 Uhr, 15.10.2021

Jetzt, hab ich's. Dankeschön!!!

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