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Summe von Untervektorräumen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

tommy40629 aktiv_icon

08:51 Uhr, 10.03.2014

Hi,

Wenn U, W Untervektorräume sind, dann ist die Summe U+W so definiert:

U + W = {u + w : u \in U, w \in W}

Angenommen die Elemente in U sind {

a, b, c

} und die in W sind {

1, 2, 3

}

Laut der Definition

U + W = {u + w : u \in U, w \in W}

muss der 1. Summand aus U sein und der 2. Summand aus W.
Also wären
a+1
a+2
a+3
Elemente aus U+W
Die restlichen sind dann:
b+1
b+2
b+3
c+1
c+2
c+3

Also sind 9 Elemente in U+W. Stimmt das??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Bummerang

09:51 Uhr, 10.03.2014

Hallo,

1. sind Untervektorräume (bis auf den trivialen

{\vec{0}})

niemals endlich, sondern immer unendlich. Du könntest jetzt höchstens sagen, dass

U

die lineare Hülle Deiner 3 Vektoren ist, diese also ein Erzeugendensystem (im Optimalfall eine Basis) von

U

darstellen. Analoges gilt für W.

2. ist die Summe als lineare Hülle aller Vektoren, die sich als Summe aus Vektoren von

U

und

W

darstellen lassen definiert. Was Du da machst, ist formal betrachtet nur ein Kreuzprodukt. Die Summe wäre aber die lineare Hülle über diesem Kreuzprodukt. Einfach darstellen lässt sich dies (wenn man Deiner Vorgabe mit meiner Ergänzung

1)

als Vorlage folgt) durch

λ_{1} \cdot \vec{a} + λ_{2} \cdot \vec{b} + λ_{3} \cdot \vec{c} + μ_{1} \cdot \vec{1} + μ_{2} \cdot \vec{2} + μ_{3} \cdot \vec{3}

tommy40629 aktiv_icon

10:55 Uhr, 10.03.2014

Du spricht in (2.) von der direkten Summe.

Also der Prof hat zuerst die Summe von 2 UVR's W+V eingeführt und dann die direkte Summe von

W o p l u s V

.

Ich meinte die Summe von 2 UVR's.

Ich hatte auch die Definition vom Kreuzprodukt im Kopf. Weil die 2 Definition sich ähnlich sehen.

K \times M = {(k, m) : k \in K, m \in M}

w+v kann man ja auch so schreiben +(w,v)

W + V = {+ (w, v) : w \in W, v \in V}

Da sehen sie sich ja sehr ähnlich.

Aber in die Definition W+V fließen ja auch alle Eigenschaften über Unterbektorräume und Vektoren mit ein. Und das habe ich nicht beachtet.

Bummerang

11:16 Uhr, 10.03.2014

Hallo,

ob nun direkte Summe oder "nur" Summe, es ist immer eine lineare Hülle gemeint. Ich ändere trotzdem mal den Passus ab.

tommy40629 aktiv_icon

11:32 Uhr, 10.03.2014

Also wir haben das so kennengelernt:

1. Vektorraum
2. Untervektorraum
3. Proposition, wie man einfacher zeigen kann, dass eine Menge ein UVR ist
4. Summe von 2 UVR's
5. Summe von endlich vielen UVR's

Mehr nicht.

Deshalb kann ich das mit der linearen Hülle=Spann nicht ganz verstehen.

Seinen U und V UVR's

U + V = \ u + v : u \in U, v \in V}

Das sind alle u+v für die gilt, das u aus U und v aus V.
((Ein UVR, ist ein UVR, wenn er zusammen mit der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation einen VR bildet.
Das tun U und V ja.)) Da (V,+) abelsche Gruppe ist, gilt ja ab=ba hier (u+v)=(v+u)
u+v ist ja die Summe aus einem Element aus U und einem aus V.
Also kann man das auch kommutieren, sind ja abelsche Gruppen.

Dann muss ich mich damit begnügen. Ich hätte gern ein paar Elemente für so eine Summe gesehen.

Bummerang

12:14 Uhr, 10.03.2014

Hallo,

als Definition der Summe zweier Untervektorräume

U

und

W

ist

i . A

. üblich, den kleinsten Untervektorraum zu bezeichnen, der für alle Vektoren aus

U \cup W

enthält. Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes bzgl. der Addition, müssen also neben den Vektoren (rein) aus

U

und (rein) aus

W

auch alle Vektoren enthalten in

U + W

enthalten sein, die sich als Summe aus einem Vektor aus

U

und einem Vektor aus

V

darstellen lassen. Auf das

λ

-fache kann man verzichten, denn das

λ

-fache eines Vektors aus

U

ist ja auch schon in

U

enthalten, analoges gilt für

v

und das

μ

-fache. Jetzt weiss man aber, dass der kleinste Vektorraum, der eine Menge von Vektoren enthält (auch wenn es unendlich viele Vektoren sind) die lineare Hüle dieser Vektoren ist, da diese per Definition der kleinste Vektorraum ist, die diese Vektoren umfasst.

"Ich hätte gern ein paar Elemente für so eine Summe gesehen."

Sei

V = ℝ^{3}

U = {\vec{u} | \vec{u} = λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), λ \in ℝ}

W = {\vec{w} | \vec{w} = μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), μ \in ℝ}

Dann sind

U

und

W

Untervektorräume von

V

und beides sind Geraden. Dann soll sich ergeben:

M = {\vec{v} | \vec{v} = λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), λ, μ \in ℝ}

Jeder Vektor aus der Menge

M

lässt sich in zwei Summanden zerlegen, so ist die Menge ja definiert. Diese beiden Summanden sind jeweils ein Vektor aus

U

und ein Vektor aus W. Damit ist

M \subseteq U + W

. Gleichzeitig lässt sich jede beliebige Linearkombination aus

U + W,

also

\sum_{i = 1}^{n} (ν_{i} \cdot \vec{v_{i}})

wie folgt darstellen:

\sum_{i = 1}^{n} (ν_{i} \cdot \vec{v_{i}})

= \sum_{i = 1}^{n} (ν_{i} \cdot (λ_{i} \cdot \vec{u_{i}} + μ_{i} \cdot \vec{w_{i}}))

= \sum_{i = 1}^{n} (ν_{i} \cdot λ_{i} \cdot \vec{u_{i}} + ν_{i} \cdot μ_{i} \cdot \vec{w_{i}})

= \sum_{i = 1}^{n} (ν_{i} \cdot λ_{i} \cdot \vec{u_{i}}) + \sum_{i = 1}^{n} (ν_{i} \cdot μ_{i} \cdot \vec{w_{i}})

= \sum_{i = 1}^{n} ((ν_{i} \cdot λ_{i}) \cdot \vec{u_{i}}) + \sum_{i = 1}^{n} ((ν_{i} \cdot μ_{i}) \cdot \vec{w_{i}})

= \sum_{i = 1}^{n} (\bar{λ_{i}} \cdot \vec{u_{i}}) + \sum_{i = 1}^{n} (\bar{μ_{i}} \cdot \vec{w_{i}})

Und das ist ein Vektor aus

M,

denn der erste Summand ist ein Vektor aus

U,

der zweite einer aus

W

und mit

λ = μ = 1

ist dieser Vektor in

M!

Also ist auch jeder Vektor aus

U + W i n M

enthalten und damit gilt:

U + W \subseteq M

.

Aus beiden Teilmengenbeziehungen folgt wiederum:

U + W = M = {\vec{v} | \vec{v} = λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), λ, μ \in ℝ}

So ist in diesem Beispiel der Vektor

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

weder in

U

noch in

W

enthalten, allerdings ist der in

U + W

enthalten, da er sich darstellen lässt als

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

EDIT: Von der Vorstellung her bildet

U + W

eine Ebene, die die beiden Geraden

U

und

W

enthält. Es ist, in 3D-Koordinaten die x-y-Ebene. Alle Elemente aus

ℝ^{3},

deren letzte Komponente (z-Koordinate) gleich Null ist, ist in

U + W

(\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ y \\ 0 \end{matrix}) = x \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

tommy40629 aktiv_icon

14:49 Uhr, 11.03.2014

Wow, danke!!
Ich werde es mir genauer ansehen, wenn ich mit den ganzen Vorlesungen durch bin.
Momentan liegen noch 30 Stunden vor mir.

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