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Summe von ganzen Zahlen
Universität / Fachhochschule
Tags: Algebra
 
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anonymous 18:13 Uhr, 14.03.2005  |
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Hi, ich knobel schon seit gewisser Zeit an einer Aufgabe, die lautet: Wieviele Möglichkeiten gibt es, 100 als Summe von zwei oder mehreren aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen darzustellen? Vielleicht habt ihr eine Idee... |
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Hallo, ich habe leider nicht sehr viel Zeit, aber eine Idee, wie du an deine Antwort kommen kannst. Im Grunde dürfte es gar nicht viele Kombinationen geben: Gehen wir mal davon aus, wie viele Zahlen ich überhaupt zu 100 kombinieren kann, bzw. wie viele ich NICHT zu hundert kombinieren kann: 2 Zahlen: Summe ist ungerade, kann also nicht 100 sein 3, 5, 7, 9, 11.... Zahlen: Summes ist ungerade, kann nicht 100 sein Es können also nur 4, 6, 8, 10... Zahlen sein, deren Summe 100 ergibt. Wenn man die Zahlen von 1 bis 14 summiert landet man schon bei 105; da dies die "kleinste" Möglichkeit für 14 Zahlen ist, fliegt die 14 auch raus, d.h. es kann nur 4, 6, 8, 10 oder 12 aufeinander folgenden Zahlen geben, deren Summe 100 ist. Bildet man nun die Summen der Zahlen von 1 bis 12: 78 10: 55 8: 36 6: 21 4: 10. Da die Zahlen aufeinander folgend bleiben müssen, kann ich diese Zahlen nur als Block verschieben, d.h. ich könnte statt bei 1 auch bei 2,3,4 oder sonst wo beginnen, die Summe würde sich dann aber immer ändern um + Anzahl der Zahlen * Verschiebungsschritt. Verschiebe ich z.B. die 10 Zahlen um 3, so dass ich erst bei 4 anfange, erhöht sich die Summe um 10*3=40. Und damit können wir sofort die nächsten Summen ausschließen: Verschiebe ich die 12 Zahlen um eins (78+12=90) oder zwei (78+2*12=102), kann ich die hundert nicht erreichen. Verschiebe ich die 10 Zahlen, kann ich nur ein Vielfaches von 10 addieren, d.h. ausgehen von 55 kann ich niemals 100 erreichen. Bei 8 Zahlen geht es, denn die Differenz (100-36=64) ist durch 8 teilbar, d.h. ich kann die Zahlen um (64/8=) 8 verschieben und erhalte die erste Möglichkeit: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 100. Bei 6 Zahlen und bei 4 Zahlen wird es wieder unmöglich, da die Differenz (79 bzw. 90) nicht durch 6 bzw. 4 teilbar ist. Somit gibt es meiner Ansicht nach nur eine einzige Möglichkeit, die Zahl 100 als Summe aufeinander folgender ganzer Zahlen darzustellen: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16. Jetzt hab ich doch alles ausgerechnet ;-) Gruß, Dennis |
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anonymous 12:55 Uhr, 15.03.2005 |
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Hey das ist schon mal kein schlechter Gedankengang, doch auch bei einer Summe aus 3,5,7... Zahlen kann eine gerade Zahl herauskommen. Je nachdem, mit welcher Zahl man anfängt. Beispiel: 1+2+3=6 => gerade Eine weitere Lösung, die ich mit Probieren rausbekommen habe ist: 18+19+20+21+22=100 Mein Ansatz war, irgendwie mit der Summe der ersten natürlichen Zahlen. Dann ziehe ich eine weitere Summe der natürlichen zahlen ab, um auf 100 zu kommen, also: Folge(1...a)-Folge(1...b)=100 Bei meiner Lösung wäre das: Summe von 1...22 - Summe von 1...17 = 100 Aber wenn ich das allgemein fasse, komme ich auf eine Gleichung in Abhängigkeit von a und b... |
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anonymous 13:15 Uhr, 15.03.2005 |
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Betrachte folgender Gleichung: n=x_1 mit n, x_1>0. Wieviele Lösung hat die Gleichung? Wenn man das weißt, betrachte man nun folgender Gleichung: n=x_1+x_2 mit n,x_1,x_2>0.Wieviele Lösung hat die Gleichung? Wenn x_1,x_2>0 ist, was ist dann x_1,x_2 kleiner ? Wenn man das weißt, guck man sich das an: x_2=n-x_1=k. Wieviele Lösung hat die Lösung für feste "k"? Welche Werte kann "k" annehmen? Wenn man das weißt, kann man dann vielleicht Induktion machen? |
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Du hast in der Tat Recht, natürlich können auch 3,5,7.. Zahlen in Summe 100 ergeben, allerdings ist die obere Grenze trotzdem 14 Zahlen. D.h. du müsstest jetzt einfach die Summen für all diese Zahlen bilden und überprüfen ob die Differenz bis 100 durch die Anzahl der Zahlen teilbar ist (wie ich das oben für die geraden Zahlen gemacht habe). Das müsste dann die übrigen Lösungen liefern. Dennis |
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hallo, ich würde die fallunterscheidung nach der anzahl der zahlen machen (es kann zu jeder anzahl max eine lösung geben) sei n die anzahl n=2, 100/2 als schätzer für den anfang: 49+50 = 99 , nächstes paar ist 99+2 n=3 100/3 als schätzer 31+32+33=96, dann 99, dann 102 n=4 100/4, 22+23+24+25 = 94, dann 98, dann 102 n=5 18+ ... + 22 = 100 , hurra n=6, 13+ ... +18 = 93, dann 99 , dann 105 n=7 10+ .. = 91 , dann 98, ... usw. |
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anonymous 14:44 Uhr, 15.05.2005 |
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