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Summenwert, binomische Reihe

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Fabienne- aktiv_icon

20:36 Uhr, 20.11.2014

Hi, ich schaffe es gerade irgendwie nicht diese Summe zu berechnen:

\sum_{k = 0}^{n} k^{2} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Offensichtlich steht da der Term des binomischen Lehrsatzes, aber irgendwie komme ich nicht drauf wie ich es umformen könnte...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

23:49 Uhr, 20.11.2014

Hallo Fabienne

1 .)

Du sagst, du willst "diese Summe berechnen".
Was genau meinst du damit?
Evtl. gibt es eine Möglichkeit, den Ausdruck umzuformen und zu vereinfachen. Evtl. gibt es die Möglichkeit, den Ausdruck so umzuformen und zu vereinfachen, dass man ohne einen SUMMEN-Ausdruck auskommt. Vermutlich meinst du das. Bitte um Bestätigung oder Erklärung...

2 .)

"Offensichtlich steht da der Term des binomischen Lehrsatzes"
Nun offensichtlich nicht so ganz. Wir sind uns sicher einig, dass da das

k^{2}

noch als 'Störglied' stört und erst wenn das

k^{2}

irgendwie weg zu bekommen wäre, wirklich der klassische binomische Summensatz da stünde.

3 .)

Meine Herangehensweise war, mir erst mal für

> n = 1

> n = 2

> n = 3

> n = 4

> . .

.
einige der Summen aufzuschlüsseln, und mir so einen Überblick zu verschaffen.
Das ließ sich dann tatsächlich recht gut vereinfachen.
Das ließ sich sogar so weit vereinfachen, dass man eine allgemeingültige Theorie für alle

n

aufstellen konnte.
Wenn die Theorie stimmte, dann wäre dies sicherlich eine Vereinfachung, wie sie deiner Forderung nach "diese Summe zu berechnen" genüge tun könnte.

4 .)

Ja, aber eine Theorie aufstellen ist das eine. Diese zu beweisen ist aber das andere. Die Theorie sieht so griffig aus, dass ich Hoffnung hätte, sie durch vollständige Induktion beweisen zu können.
Ich sage es aber gleich gerade heraus: Meine bisherigen Versuche, die Theorie zu beweisen, sind noch gescheitert.

Dennoch, ich bleibe guter Hoffnung, und bin gespannt, wie weit du meinen Tips folgen willst.

Matlog aktiv_icon

00:51 Uhr, 21.11.2014

Cositans Herangehensweise ist sicher eine (logische) Möglichkeit.
Der Beweis durch vollständige Induktion geht bestimmt irgendwie, ist aber nicht so ganz einfach, weil sich mit erhöhtem

n

auch die einzelnen Summanden der Summe ändern.

Es gibt aber auch Alternativen:
Bei allen diesen Alternativen sollte man zunächst

\sum_{k = 0}^{n} k \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

berechnen, dann erst die gesuchte Summe mit dem Faktor

k^{2}

(i)

Man kann erst

k

und später noch den Faktor

(k - 1)

in den Binomialkoeffizienten

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

hinein "wurschteln". Das ist nicht so sehr übersichtlich, deshalb nicht mein Favorit.

(ii) Wenn Du Dich mit Wahrscheinlichkeitstheorie auskennst, dann geht es am schnellsten!
Wenn

X

binomialverteilt ist mit den Parametern

n

und

p,

dann ist die gesuchte Summe gleich

E (X^{2})

.
Mit Var(X)=E(

X^{2}) - {(E (X))}^{2}

kommt man dann mittels Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung (ist alles bekannt) zum Ziel.

(iii) Auch ohne Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es einen netten Trick:
Binomischer Lehrsatz:

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot a^{k} \cdot b^{n - k}

kann man zunächst auf beiden Seiten nach der Variable a differenzieren. Daraus folgt zunächst die Formel mit nur dem

k

in der Summe, wenn man

a = p

und

b = 1 - p

setzt.
Bildet man anschließend noch die zweite Ableitung nach a und verwendet das Ergebnis für die Summe mit nur dem

k,

kommt man auf die gesuchte Formel.

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