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Summenzeichen, Doppelsumme und Mengenlehre

Schüler Kaufmännische mittlere u. höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Doppelsummen, Mengenlehre, Summenzeichen

desaster137 aktiv_icon

14:56 Uhr, 26.03.2017

Hallo Matheforum,

ich hätte einige Fragen zu diesen Beispielen (siehe Anhang):

Zu

13

a)

: Da bekomme ich als Lösung

23

. Würde dies stimmen und gäbe es eine einfache Möglichkeit bei diesem Summenzeichen als jeden einzelnen Summanden aufzuschreiben?

Zu

13

b)

: Da ist meine Lösung

35

. Stimmt dies?

Zu

13

c)

: Da brauche ich eure Hilfe weil ich wirklich nicht weiß, wie ich es angehen soll.. Die Summenformel für eine unendliche Summe ist ja

\frac{n * (n + 1)}{2}

. Müsste ich da einsetzen

\frac{\frac{3 * (n * (n + 1))^{2}}{2}}{\frac{n * (n + 1)}{2}}

. Würde diese Überlegung stimmen?

Zu

15

: Da bekomme ich als Ergebnis 330. Stimmt dies?

Zu

19

: Eine Menge ist die Gesamtheit aller Objekten und die Objekte werden als Elemente

(\in)

bezeichnet. Bei der Frage "Wie können Mengen dargestellt werden" weiß ich leider keine Antwort..

19

a)

: Würde es stimmen wenn ich hier hinschreibe

{2 \leq x \leq 10 ∣ x

gerade Zahlen

}

. Würde dies so passen?

19

b)

k = {- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4}

. Das dürfte auch stimmen oder?

19

c)

i

ist richtig, weil die Menge

A

genau 4 Elemente hat.

i i

3 \in A

ist eine falsche Aussage, es müsste lauten, wenn ich es richtig stellen muss,

- 3 \in A

i i i

ist auch richtig.

i v

Dies ist falsch, denn die Menge

{2; \frac{1}{2}}

wäre z. B.

\subseteq P (A)

. Also

{2; \frac{1}{2}} \subseteq P (A)

.

Würde dies so stimmen? Ich hoffe jemand kann mir hierbei helfen. Ich bedanke mich jetzt schon für eure Antworten.

Gruß
desaster137

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Roman-22

15:32 Uhr, 26.03.2017

>

13 a) :

Da bekomme ich als Lösung

23

. Würde dies stimmen und gäbe es eine einfache Möglichkeit bei diesem Summenzeichen als jeden einzelnen Summanden aufzuschreiben?
Ja, die gibt es und so war die Aufgabe auch vermutlich nicht gemeint, dass du alle Summanden aufschreibst. Sonst gibt dir dein Lehrer zur nächsten HÜ die gleiche Aufgabe, nur dass diesmal nicht bis

20,

sondern bis

20000

aufsummiert wird ;-)

Hier geht es um eine arithmetische Reihe - aufeinanderfolgende Summanden haben die konstante Differenz

\frac{1}{10}

. Und für endliche arithmetische Reihen gibts eine Summenformel, die du hier vermutlich anwenden sollst.

s_{n} = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot a_{1} + (n - 1) \cdot d]

s_{20} = \frac{20}{2} \cdot [2 \cdot \frac{2}{10} + 19 \cdot \frac{1}{10}] = . .

.

Du kannst die Aufgabe aber auch auf die ganz elementare Gauß-Formel (das G'schichterl mit dem Aufsummieren aller Zahlen von 1 bis

100

hat man dir sicher auch schon erzählt) zurückführen:

\sum_{k = 1}^{20} \frac{k + 1}{10} = \frac{1}{10} \cdot [\sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 1] = \frac{1}{10} \cdot [\frac{20 \cdot 21}{2} + 20] = 23

>

13 b) :

Da ist meine Lösung

35

. Stimmt dies?
Nein. Hier bleibt dir wohl wirklich nur das anschreiben und aufsummieren der drei Glieder

>

13 c) :

Ich habe keine Ahnung, von welcher unendliche Reihe du da sprichst (da gibts nirgendwo eine unendliche Reihe) und was du wo einsetzen möchtest. Deine Ausführungen sind da zu wirr.

Im Nenner steht eine einfache, arithmetische Reihe und für die gilt wieder die Gaußformel.
Im Zähler kannst du die 3 ausklammern und vermutlich habt ihr eine Formel für

\sum_{k = 1}^{n} k^{2}

im Unterricht kennen gelernt.

Was die anderen Aufgaben anlangt - zu viele Einzelbeispiele in einem Thread sind mir zu unübersichtlich - eine Aufgabe mit drei Einzelbeispielen ist mehr als genug.

desaster137 aktiv_icon

15:38 Uhr, 26.03.2017

Okey danke dir. Doch wie sieht es bei den anderen Beispielen aus?

Gruß
desaster137

Roman-22

15:43 Uhr, 26.03.2017

Siehe oben - ich hab editiert.

desaster137 aktiv_icon

16:20 Uhr, 26.03.2017

13

b)

: Es müsste

\frac{35}{2}

sein, habe den Nenner, aus welchen Gründen auch immer, weggelassen :-D).

Eine Formel für

\sum_{k = 1}^{n} k^{2}

haben wir nicht gelernt... würde mein Ansatz nicht stimmen? Welchen Ansatz könntet Ihr mir vorschlagen?

Gruß
desaster137

Roman-22

16:22 Uhr, 26.03.2017

Ja,

\frac{35}{2}

ist richtig für

13 b)

desaster137 aktiv_icon

16:23 Uhr, 26.03.2017

Eine Formel für

\sum_{k = 1}^{n} k^{2}

haben wir nicht gelernt... würde mein Ansatz nicht stimmen? Welchen Ansatz könntet Ihr mir vorschlagen?

Gruß
desaster137

Roman-22

16:29 Uhr, 26.03.2017

Hmm, du kennst also

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n \cdot (n + 1)}{2},

aber

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{6}

ist dir nicht bekannt!?

Dann wirds recht schwierig, auf das Ergebnis

2 n + 1

zu kommen.
Ich kann mir nicht vorstellen, dass von euch erwartet wird, eine neue Summenformel herzuleiten und/oder etwa durch vollständige Induktion zu zeigen.

Du könntest dir den Ausdruck mal für

n = 1,2,3,4, . .

. ausrechnen und feststellen, dass sich die Folge der ungeraden Zahlen einstellt und vermuten, dass das auch so weiter geht.
Beweisen müsste man das dann halt auch zB durch Induktion.

desaster137 aktiv_icon

16:47 Uhr, 26.03.2017

Habe die Formel auf meiner Formelsammlung übersehen... war mein Fehler.. Also bei

13

c)

ist die Lösung

2 n + 1

. Also das habe ich zumindest herausbekommen.

Wenn wir schon bei Summen sind, noch eine Frage zum Beispiel mit der Doppelsumme:

Das Beispiel kann ich ja auch umschreiben in

2 * \sum_{i = 1}^{2} i * \sum_{j = 1}^{10} j

= 2 * (1 + 2) * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 2 * 3 * 55 = 330 .

Dies dürfte auch so stimmen oder?

Roman-22

16:56 Uhr, 26.03.2017

>

Dies dürfte auch so stimmen oder?
Ja

desaster137 aktiv_icon

17:28 Uhr, 26.03.2017

Okey, danke dir. Dann hake ich das Thema Summenzeichen ab!

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