Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Superpositionsprinzip

Superpositionsprinzip

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

DanielM85 aktiv_icon

05:07 Uhr, 05.08.2013

Hallo,

ich hänge mal wieder an einer sehr schwierigen Aufgabe, die uns unser Mathe-Professor als Übung gestellt hat. Und zwar ist diese folgendermaßen gestellt:

"Gegeben sind zwei Punktladungen q1=-15nC und q2=5nC. Die Ladung q1 befindet sich im Punkt r1 = (1, 2, 3)T und q2 im Punkt r2 = (4, 5, 6)T .

1. Geben Sie das elektrische Potential $Φ$ dieser Punktladungen an. Wie lautet der Definitionsbereich
$D Φ$ von der Funktion $Φ : R^{3} \to R$ ?
2. In welche Richtung weist das durch die beiden Punktladungen induzierte elektrische Feld E im Punkt r = (1, 1, 1)T und welchen Betrag hat es dort?
Hinweis: Eine Punktladung q0 befinde sich am Ort $r_{0} \in R^{3}$ . Das hierdurch am Ort $r \in R^{3}$ induzierte elektrische Potential $Φ (r)$ beträgt

$Φ (r) = \frac{1}{4 π ξ ο} \cdot \frac{q 0}{{∥ r - r_{0} ∥}_{2}}$ .

Dabei bezeichnet ε0 die elektrische Feldkonstante. Sie hat den Wert
$ξ ο = 8.854 \cdot 10^{- 12} C^{2} N^{- 1} m^{- 2}$ .

Das zum Potential $Φ$ zugehörige elektrische Feld ist definiert durch
$E (r) = - g r a d (Φ (r))$ ."

Als Lösung zu den beiden Aufgaben gab er an:

"1. Jede der beiden Punktladungen qk, k = 1, 2, hat das elektrische
Potential

$Φ_{k} (r) = \frac{1}{4 π ξ ο} \cdot \frac{q k}{{∥ r - r_{k} ∥}_{2}}$

Durch Superposition erhält man das elektrische Potential der beiden Ladungen zu

$Φ (r) = Φ_{1} (r) + Φ_{2} (r)$

Der Definitionsbereich von $Φ$ ist gleich $D_{Φ} = R^{3} \ {r_{1}, r_{2}}$ .

2. Es gilt
$E (1, 1, 1) = {(0.3813, - 11.5499, - 23.4811)}^{T} V m^{- 1}$

Daraus erhält man ${‖ E (1, 1, 1) ‖}_{2} = 26.1708 V m^{- 1}$ "

Er hat also immer nur die Kurzfassung ohne den Rechenweg angegeben. Zur ersten Aufgabe frag ich mich wie man über das Superpositionsprinzip auf das elektrische Potential beider Ladungen kommt und zu Aufgabe 2 wie er auf diese Ergebnisse in der Klammer kommt.

Kann mir da jemand weiterhelfen oder zumindest den entscheidenden Denkanstoß in die richtige Richtung geben?

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

14:56 Uhr, 06.08.2013

Hallo,

jede der beiden Punktladungen hat ein Potential. Gemäß dem Hinweis sind diese beiden Potentiale

φ_{1} (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{1}}{{| | r - r_{1} | |}_{2}}

und

φ_{2} (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{2}}{{| | r - r_{2} | |}_{2}}

Das Superpositionsprinzip bedeutet nun nichts anderes, daß das gemeinsame Potential der beiden Punktladungen einfach die Summe der beiden Einzelpotentiale ist, wie es auch schon in der Lösung steht:

φ (r) = φ_{1} (r) + φ_{2} (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{1}}{{| | r - r_{1} | |}_{2}} + \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{2}}{{| | r - r_{2} | |}_{2}} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot (\frac{q_{1}}{{| | r - r_{1} | |}_{2}} + \frac{q_{2}}{{| | r - r_{2} | |}_{2}})

Für Punkt 2 der Aufgabe benötigt man das elektrische Feld

E (r)

. Da man ja nun

φ (r)

aus dem ersten Aufgabenteil hat, kann man das elektrische Feld gemäß dem Hinweis berechnen:

E (r) = -

grad

(φ (r))

Danach muß man in

E (r)

nur noch den Punkt

r = {(1,1,1)}^{T}

einsetzen. Bei dem in der Musterlösung angegebene Ergebnis sind meines Erachtens die Vorzeichen alle falsch. Es sollte richtig lauten:

E (1,1,1) = {(- 0.3813, 11.5499, 23.4811)}^{T}

Auf den Betrag

{| | E (1,1,1) | |}_{2}

hat dies allerdings keine Auswirkungen.

Falls es noch Unklarheiten geben sollte, wäre es gut, wenn Du genauer spezifizierst, womit Du Probleme hast.

Viele Grüße
Yokozuna

DanielM85 aktiv_icon

00:18 Uhr, 08.08.2013

Besten Dank für die Anwort!!! Hat mir sehr weiter geholfen. Nun ist mir einiges klar. Hatte schon fast die Hoffnung aufgegebn dass ich überhaupt noch ein Feedback darauf bekomme. Und zu den Vorzeichen! Ich dachte auch anfangs die wären falsch aber dies ist denk ich mal gemäß E(r)=-grad(r) mit diesem korrigierenden Minuszeichen zu erklären.

Yokozuna aktiv_icon

00:57 Uhr, 08.08.2013

Ich bin mir ziemlich sicher, daß ich das Minuszeichen vor grad berücksichtigt habe. Ich denke eher, daß der Ersteller der Musterlösung dieses Minuszeichen vergessen hat. Es wäre nicht das erste Mal, daß eine Musterlösung fehlerhaft ist.

Bei der Gradientenbildung entsteht ein Minuszeichen, welches durch das Minuszeichen vor grad wieder zu Plus wird (ich betrachte jetzt mal nur eine Punktladung):

E (r) = -

grad

(\frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{1}}{{| | r - r_{1} | |}_{2}}) = - [\frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot (- \frac{q_{1} \cdot (r - r_{1})}{{| | r - r_{1} | |}_{2}^{3}})] = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot (r - r_{1})}{{| | r - r_{1} | |}_{2}^{3}}

Das ist auch genau das, was man

z . B

. bei Wikipedia über das elektrische Feld findet:

http//de.wikipedia.org/wiki/Elektrisches_Feld#Elektrisches_Feld_einer_Ladungsverteilung

Viele Grüße
Yokozuna

DanielM85 aktiv_icon

01:53 Uhr, 09.08.2013

Vielen Dank für den Hinweis! Nicht dass ich für die Klausur was falsches lerne. Glaub auch eher dass du richtig liegst. Werde unseren Prof. gegebenenfalls drauf aufmerksam machen. Vielen Dank nochmal dafür!

Gruß Daniel

Yokozuna aktiv_icon

10:02 Uhr, 09.08.2013

Ja, es ist sicher sinnvoll, den Professor mal auf diese Ungereimtheiten mit dem Minus-Zeichen in der Musterlösung anzusprechen.

Viele Grüße
Yokozuna

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1107928

1107429

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?