Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Surjektivität zeigen

Surjektivität zeigen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Abbildung, Sonstig, Surjektivität beweisen

darius92 aktiv_icon

18:39 Uhr, 11.11.2015

Guten Abend,

ich hab hier mal zwei Abbildungen für euch:

f_{1} : ℤ \to ℤ, n \to n + 1

f 1 : ℚ \to ℚ, n \to 2 n

Es geht darum, dass ich bei diesen Folgen angeben soll, ob sie injektiv und/oder surjektiv sind. Injektiv sind die ja beide, das löse ich immer mit

f (n 1) = f (n 2)

.
Beim Zeigen von Surjektivität weiß ich allerdings nicht genau, wie ich das formel korrekt aufschreibe.

Hat da jemand nen Ansatz für mich?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Patman95 aktiv_icon

18:48 Uhr, 11.11.2015

Hallo darius92,

Für Surjektivität gilt folgende Definitione:

\forall y \in Y \exists x \in X : f (x) = y

Nun musst du zeigen, dass für jedes Bild auch ein Urbild existiert.

Das heißt du schnappst dir einen beliebigen Wert aus der Bildemenge

(y = ...)

und zeigst, dass es ein

x

im Definitionsbereich mit

f (x) = y

gibt.

Hoffe ich konnte dir etwas helfen !

darius92 aktiv_icon

19:37 Uhr, 11.11.2015

Jo Danke für die Antwort.

Ich habe ehrlich gesagt noch keine Ahnung, wie ich das für alle

y

beweisen kann

: (

Patman95 aktiv_icon

19:49 Uhr, 11.11.2015

Ich machs mal für deine erste Aufgabe:

Du bildest ab von

ℤ

auf

ℤ

mit

n \to n + 1

Also muss muss für die Surjektivität gelten:

\forall z \in ℤ \exists n \in ℤ : f (n) = z

Jetzt versuchst du eine Gleichung zu lösen in der es

z

gibt. Naja das wäre ja dann wohl

z = f (n)

. Das folgt alles aus der Definition von Surjektivität.

Also gilt:

z = n + 1

. Und damit

n = z - 1

Jetzt beginnt der formale saubere Beweis:

f (n) = z = n + 1

f (z - 1) = n + 1 = (z - 1) + 1 = z

Damit hättest dur die Surjektivität formal bewiesen.

Wenn du Mathe studierst, dann solltest du es schon derart formal machen. Auch wenns trivial erscheint. Sonst könntest du es damit begründen, dass die ganzen Zahlen

ℤ

nach unten unbeschränkt sind und somit (weil

n = z - 1)

gilt, jede ganze Zahl einen Vorgänger besitzt.

darius92 aktiv_icon

21:06 Uhr, 11.11.2015

Hey, Danke für die Antwort.

f 1 :

ℚ→ℚ,

n

→

2 n

Wenn ich von dieser Abbildung die Surjektivität zeigen will, kann ich ähnlich vorgehen?

∀q∈

ℚ

∃

n

∈

ℚ : f (n) = q

Wenn ich jetzt sage

f (n) = q

soll gelten, dann erhalte ich

n = \frac{q}{2}

.
Reicht es jetzt, wenn ich sage, dass

n = \frac{q}{2}

in den Rationalen Zahlen immer definiert ist und deshalb die Abbildung surjektiv sein muss?

Lieben Dank!

Patman95 aktiv_icon

21:16 Uhr, 11.11.2015

Genau. Das kannst du auch sagen! Im Endeffekt sagst du ja, dass für jedes Bild ein Urbild mit

n = \frac{q}{2}

ist. Und da

\frac{q}{2} \in ℚ

liegt, ist die Surjektivität bestätigt.

darius92 aktiv_icon

21:18 Uhr, 11.11.2015

Super, ich danke dir vielmals! :-)

1267099

1267044

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?