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Symmetrische Differenz von A,B,C

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: kommutativer Ring, Ring

tommy40629 aktiv_icon

09:36 Uhr, 13.05.2012

Hallo,

meine Frage bezieht sich auf die untrige Aufgabe, im Bild.

Die symmetrisch Differenz von A,B,C müsste doch lauten??:

$A \otimes B \otimes C = (A \ B \ C) \cup (B \ A \ C) \cup (C \ A \ B)$ $\oplus$ entspricht dem Dreieck- Zeichen.

Was mich noch irretiert ist, dass der Schnitt die Multiplikation sein soll.

Muss ich dafür die Symmetrische Differenz von A,B,C umdefinieren und aus der Vereinigung einen Schnitt machen??

edit:

ich könnte ja substituieren $A \otimes B : = (A \ B) \cup (B \ A) = K$ --> $A \otimes B \otimes C = K \oplus C = (K \ C) \cup (C \ K)$ --> $K \oplus C = (K \ C) \cup (C \ K) = ((A \otimes B) \ C) \cup (C \ (A \otimes B)) = (((A \ B) \cup (B \ A)) \ C) \cup (C \ ((A \ B) \cup (B \ A)))$

Nur wie ich $(((A \ B) \cup (B \ A)) \ C) \cup (C \ ((A \ B) \cup (B \ A)))$ umformen soll, keine Ahnung??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

11:31 Uhr, 13.05.2012

Es gibt gar nicht unmittelbar

A \oplus B \oplus C,

sondern allenfalls

(A \oplus B) \oplus C

und

A \oplus (B \oplus C)

. Zu zeigen, dass diese beiden Ausdrücke übereinstimmen, ist bereits ein Teil der Aufgabenstellung. Und eine der beiden Varianten hast du weiter unten ja auch schon aufgedröselt. (Tipp zum Zeigen der Gleichheit: Zeige, dass sowohl für

(A \oplus B) \oplus C

als auch

A \oplus (B \oplus C)

ein Objekt genau dann als Element enthalten ist, wenn es in einer ungeraden Anzahl (also einer oder allen drei) der Mengen

A, B, C

enthalten ist)

Ich verstehe leider nicht, was hier irritierend sein kann, bzw. wieso du meinst, die symmetrische Differenz umdefinieren zu müssen - sie ist ein für allemal definiert:

X Δ Y = (X \ Y) \cup (Y \ X)

Für

A, B \in P (M)

definierst du

A \oplus B := A Δ B = (A \ B) \cup (B \ A)

sowie

A \otimes B := A \cap B

Zu zeigen ist, dass die Struktur

(P (M), \oplus, \otimes)

die bekannten Axiome für "kommutativer Ring" erfüllt

tommy40629 aktiv_icon

11:55 Uhr, 13.05.2012

Klar ist sie für 2 Mengen definiert, doch ich weiß nicht, wie ich die Symm. Differenz für 3 Mengen und mehr aufschreiben soll??

hagman aktiv_icon

12:08 Uhr, 13.05.2012

Wie gesagt, von Haus aus gibt es keine symmetrische Differenz von drei Mengen, sondern nur über Zwischenergebnisse, also mit geklammerten Teilausdrücken. Die Nachlässigkeit, dass man keine Klammern schreibt ist ja erst dadurch gerechtfertigt, dass dieser stufenweise Je-zwei-Operanden-Prozess unabhängig von der Art der Klammerung zum selben Ergebnis führt, dass man also anhand der Zwei-Operanden-Definition die Gleichheit von

(A Δ B) Δ C

und

A Δ (B Δ C)

nachweist.

tommy40629 aktiv_icon

12:21 Uhr, 13.05.2012

Ok, habe die Lösung mittlerweile auch im Web gefunden und erst mal abgeschrieben.

Leider hat man nicht die Zeit den Vorlesungsstoff richtig zu lernen und "einzuüben", und anschließend lößt man Übungsblätter.

Irgendwie verkehrte Welt...

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