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Tagenten und analytische geometrie aufgabe

Schüler Gymnasium,

Tags: Tangent

chupchup aktiv_icon

17:07 Uhr, 20.05.2011

hey leute,
versuch grad ein paar aufgaben zu rechnen aber komm bei einigen ueberhaupt nicht weiter.hoffe ihr koennt mir da weiterhelfen.

1)

Legen sie vom koordinatenursprung

(0 | 0)

die tagente

t

an den graphen

g

der funktion

f (x) = 2 e^{\frac{x}{4}}

wie heisst die gleichung der tagente? beruehrpunkt

(4 | 2 e)

da hab ich folgendes gerechnet

t = m \cdot x + b = f' (x) \cdot x + b

f' (x) = 0,5 e^{\frac{1}{4} x}

dann hab ich fuer

x 0

eingesetzt und da kam

\frac{1}{2}

raus.

\Rightarrow t (x) = \frac{1}{2} \cdot x + b

f (0) = 2 \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} \cdot x + b

nach

b

umgeformt kommt

b = 2

. meine gleichung waere dann

t (x) = \frac{1}{2} \cdot x + 2

aber ist glaub ich irgendwie falsch

\land

2)

fa(x)= 0,5x+ae^(-x). ta sei die tagente an den graphen von fa im schnittpunkt mit der y-achse. weisen sie nach, dass alle geraden der schar ta einen gemeinsamen punkt haben.

ich hab leider gar keinen plan was ich da machen soll....fuer ta hab ich ta(x)=

0,5 - a \cdot x + a

sy(0|a) .

3)

ein flieger

f 1

fliegt in einr minute vom punkt

A (3 | - 2 | 5)

zum punkt

B (5 | 0 | 4)

.
wie muesste

f 1

im punkt a seine flugrichtung aendern, wenn er sich nach 5 minuten an der gleichen stelle ueber dem erdboden wie ohne richtungsaenderung, aber in einer hoehe zwische. einem und

2,5

km befinden will?

fuer den punkt nach

5 min

hab ich

(13 | 8 | 0)

raus. das wars aber auch

: (

hoffe da kann mir einer weiterhelfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

21:03 Uhr, 20.05.2011

1)

Mit

f (u) = 2 e^{\frac{u}{4}}

und

f' (u) = \frac{1}{2} e^{\frac{u}{4}}

ergibt sich für die Schar aller Tangenten

t_{u} (x) = \frac{1}{2} e^{\frac{u}{4}} \cdot x + e^{\frac{u}{4}} \cdot (2 - \frac{1}{2} u)

Und durch den Ursprung verläuft die Tangente, wenn

2 - \frac{1}{2} u = 0

also

u = 4

ist.

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21:18 Uhr, 20.05.2011

sry aber irgendwie hab ich es immernoch nicht verstanden....ist mein rechenweg so falsch gewesen?

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21:24 Uhr, 20.05.2011

Ich habe nicht verstanden was du da gerechnet hast. Ich habe nur die Schar aller Tangenten berechnet und dann geprüft welche davon durch den Ursprung verläuft.

rundblick aktiv_icon

21:33 Uhr, 20.05.2011

".. .ist mein rechenweg so falsch gewesen? "

JA

den Fehler hast du dir gleich zu Beginn geleistet; hier:

"f′(x)=

0,5 \cdot e^{\frac{1}{4} \cdot x}

dann hab ich fuer

x 0

eingesetzt und da kam

\frac{1}{2}

raus. "

\to

der Berührpunkt der gesuchten Tangente hat nicht den x-Wert 0 (warum nicht?)

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21:41 Uhr, 20.05.2011

Achso das sollte gar nicht

x_{0}

heißen, dann verstehe ich jetzt was du gemacht hast. Du vergisst aber was wichtiges. (siehe Frage von rundblick)

anonymous

21:44 Uhr, 20.05.2011

Für die Aufgabe aus der analytischen Geometrie :

6 \leq h \leq 7,5

chupchup aktiv_icon

21:49 Uhr, 20.05.2011

hm....und wie bestimm ich die tagente dann? der beruehrpunkt ist mir ja nur als kontrolle angegeben...

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21:51 Uhr, 20.05.2011

Ich hoffe du hast nun verstanden, dass der Funktionsgraph von

f

selbst nicht durch den Ursprung verläuft. Wie man hier rechnen kann, steht in meinem ersten Beitrag.

rundblick aktiv_icon

22:03 Uhr, 20.05.2011

"der beruehrpunkt ist mir ja nur als kontrolle angegeben..."

ja - den angegebenen Berührpunkt solltest du nicht verwenden ..

aber du kannst doch mal so tun, als ob der Berührpunkt schon mal einen Namen
hätte, wobei du

x

und

y

nicht verwenden solltest (warum?)
also so, wie es Shipwater oben schon gemacht hat

: B (u; v)

du weisst dann

v = 2 \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot u}

und die Steigung in

B

ist dann

m = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot u}

und nun kannst du ( bei deinem Beispiel) etwas vereinfachter vorgehen,
da du schon weisst, dass die Tangente eine Ursprungsgerade

y = m \cdot x

ist,
die durch

B

geht, dh es gilt:

2 \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot u} = \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot u} \cdot u

also

2 = \frac{1}{2} \cdot u

siehst du nun die Koordinaten von B?

chupchup aktiv_icon

22:20 Uhr, 20.05.2011

ja ich seh den beruehpunkt, aber ich versteh nicht wie shipwater jetzt auf die

(2 - \frac{1}{2} u)

im letzten teil der tagentengleichung kommt

: S

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22:32 Uhr, 20.05.2011

Ich habe einen anderen Weg benutzt (hier vielleicht nicht der geschickteste). Verstehst du denn den von rundblick? Falls ja, dann vergesse meinen.

chupchup aktiv_icon

22:51 Uhr, 20.05.2011

ja dwn versteh ich, auch wenn wir das nie so gelernt haben. danke.
ahm...faellt dir vllt auch etwas zu der 2. aufgabe ein? :-)

rundblick aktiv_icon

23:02 Uhr, 20.05.2011

"etwas zu der 2. aufgabe ein?"

mach uns doch mal einen Vorschlag:

du kennst bei dieser Aufgabe den Berührpunkt

B (0; a)

und die Steigung der Tangenta

m = \frac{1}{2} - a

wie sieht dann wohl die Gleichung für die Schar ta aus?
(bei deinem Versuch ganz oben fehlt eigentlich nur eine Klammer)

nimm dann zwei verschiedene Parameterwerte (statt a noch

b)

und berechne den Schnittpunkt von ta und tb - der wird von a und

b

unabhängig sein -
fertig.

also mach mal

\to ...

chupchup aktiv_icon

14:44 Uhr, 21.05.2011

ja das mit einen anderen parameter zu waehlen hab ich mir auch schon ueberlegt, aber ich weiss nicht ob das richtig iat....
also

(\frac{1}{2} - a) \cdot x + c = (\frac{1}{2} - b) \cdot x + c

dann hab ich dausgeklammert und

- \frac{1}{2} x

gerechnet

\Rightarrow

-ax

+ c =

-bx

+ c

dann

- c \Rightarrow

-ax = -bx und dann? kann ja nicht geteilt durch

x

rechnen :
sry fuer die bloede frage aber kann ich nicht einfach statt a und

b

einfach zSb

a = 1

und

a = 2

einsetzen

u . d

gleichsetzen? wuerde ja dann den schnittpunkt bekommen oder?

: S

Shipwater aktiv_icon

14:51 Uhr, 21.05.2011

(\frac{1}{2} - a_{1}) \cdot x + a_{1} = (\frac{1}{2} - a_{2}) \cdot x + a_{2}; a_{1} \neq a_{2}

(\frac{1}{2} - a_{1}) \cdot x - (\frac{1}{2} - a_{2}) \cdot x = a_{2} - a_{1}

[\frac{1}{2} - a_{1} - (\frac{1}{2} - a_{2})] \cdot x = a_{2} - a_{1}

Versuche die Rechnung mal weiter zu führen.

Gruß Shipwater

rundblick aktiv_icon

14:56 Uhr, 21.05.2011

na ja,
was soll das c?
die Geradenschar hat den Anstieg

m = (\frac{1}{2} - a)

und geht durch den Punkt

(0; a) .

. siehe oben!

also sieht die Gleichung so aus:

y = (\frac{1}{2} - a) \cdot x + a

und wenn du einen zweiten Wert für den Parameter wählst

(b

statt

a)

dann also :

y = (\frac{1}{2} - b) \cdot x + b

für die Berechnung des x-Wertes des Schnittpunktes ist der Ansatz demnach so:

(\frac{1}{2} - a) \cdot x + a = (\frac{1}{2} - b) \cdot x + b

kannst du das nun nach

x = . .

. auflösen?

chupchup aktiv_icon

15:32 Uhr, 21.05.2011

alles klar hab fuer

x = 1

raus. danke und sry fuers auf die nerven gehen :-P)

Shipwater aktiv_icon

15:38 Uhr, 21.05.2011

Richtig und

P (1 | 0,5)

ist dann der gemeinsame Punkt aller Funktionen der Schar. Ich habe noch ein Bild dazu erstellt.

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