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Tangentialraum bestimmen?
Universität / Fachhochschule
Tags: mehrdimensionale Analysis, Tangentialraum, Untermannigfaltigkeit
 
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Hallo, Ich soll den Tangentialraum in 0 für den Graphen von f bestimmen, wobei ist und M eine 2-D Untermannigfaltigkeit ist. Mir sagt das leider nicht viel. Ich kenne den Tangentialvektor, was ja einfach die Ableitung/Gradient ist, aber was muss ich machen, um den ganzen Raum zu bekommen? Danke und Grüße Sunny Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Der Gradient ist kein Tangentialvektor; er ist ja zwei- nicht dreidimensional. Und wenn man ihn als Darstellung bezüglich einer Basis des Tangentialraums interpretiert, ist er trivialerweise ein Tangentialvektor. Eine Parametrisierung deiner Fläche (sofern ich die Aufgabe entziffern konnte), ist jedenfalls durch gegeben. Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren könntest du nun ganz leicht durch Ableiten bestimmen. ABER: Du kannst leicht argumentieren, dass deine Funktion in Null ein lokales Minimum besitzt (Exponential- und Cosinus-Term sind in einer Umgebung der Null positiv), woraus du sofort deine Tangentialebene erhältst. |
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Hi, Der Tangentialraum ist ja ein Vektorraum. Aber wie ich den jetzt genau bestimmen soll, ist mir leider ein Rätsel. ich brauche ja irgendwelche Vektoren, die den Tangentialraum aufspannen.... |
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Das habt ihr doch bestimmt schonmal geübt. Wenn du eine (reguläre) Parametrisierung einer Fläche hast, dann spannen die beiden partiellen Ableitungen der Parametrisierung die Tangentialebene auf. |
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Leider nicht... Aber das klingt logisch, was du sagst, also: Und wie muss ich das nun mathematisch Aufschreiben, dass diese beiden Ableitungen die Ebene aufspannen? |
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Das tun sie nicht, sie sind ja reellwertig. Du brauchst die partiellen Ableitungen von , also die der Parametrisierung des Graphen. Das kennst du aus dem Eindimensionalen eigentlich auch schon: Die Tangente am Graphen einer (differenzierbaren) Funktion f an der Stelle hat die Richtung . |
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Ja, aber dann würde herauskommen: (1, 1, |
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Jetzt hast du plötzlich die partiellen Ableitungen addiert. Du brauchst aber natürlich zwei Vektoren, wenn du eine Ebene aufspannen möchtest. |
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ich dachte, du meinst das Totale Differential. Ok, dann sind die Vektoren folgende: (1, 1, ) und (1, 1, ) |
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Die ersten beiden Komponenten sind jeweils falsch, es müssten und sein. Die beiden Vektoren spannen die Tangentialebene auf. Du musst nur noch dafür sorgen, dass sie am richtigen Punkt anliegt. |
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Ah, ok. Also dann die Partiellenableitung an der stelle 0 ausrechnen und \partial_y f(x, y=0) |
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Dabei solltest du aber beide Variablen gleich Null setzen. D.h. die allgemeine Tangentialebene an der Stelle ist durch mit gegeben. |
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Ah, ok. Verstanden! |
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Auch den Teil mit "ABER" aus meiner ersten Antwort? Die ganze Rechnung war nämlich unnötig. |
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