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Tautologie beweisen ohne Wahrheitstabelle
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Sonstig, Tautologie, Wahrheitstabelle, wahrheitstafel
 
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Hey Freunde der Mathematik, Wir nehmen zurzeit in der Uni Tautologien vor und hatten gerade einmal eine Vorlesung. Was die ganzen Symbole bedeuten ist mir bereits klar, jedoch möchte ich nun diesen Term lösen ohne die Wahrheitstafeln zu benutzen. ∨ ∧ ¬ ∨ ∨ ∧ ¬ Ich bin nun bei gegangen und habe erst einmal die Implikation aufgelöst. ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ¬ Nur wie kann ich nun weiter vorgehen ? Was erlaubt ist und was nicht . Distributivgesetz oder des gleichen. Wenn ich bei Youtube eingebe "Tautologie beweisen ohne Wahrheitstafel" kommen nur Videos mit Wahrheitstafeln also falls ihr gute Quellen habt, wäre das echt cool wenn Ihr diese, als Antwort schreiben könnt:-) Besten Dank im Voraus:-)! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Ich bin nun bei gegangen und habe erst einmal die Implikation aufgelöst." Dann hast du jetzt einen zweiten Versuch. ist NICHT äquivalent zu |
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okok aber dies sollte nun Aquivalent sein: ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ( ¬ ∨ ∧ ¬ |
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Ist es überhaupt möglich, dies ohne Wahrheitstabelle zu beweisen ? Da hier ja 3 Aussagen vorkommen und |
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Hallo matheistderhammer! Deine neue Formel ist in der Tat äquivalent zur Ausgangsformel. Du hast quasi umgeformt zu . Eine einfachere Umformung wäre die hin zu . Die Frage der Vorgehensweise zum Nachweis, dass eine Tautologie vorliegt, scheint mir unabhängig davon, dass 3 Aussagen A, B und C vorkommen. Ich sehe in diesem Fall keine naheliegende Möglichkeit, durch elementare Äquivalenz-Umformungen zu sehen, dass eine Tautologie vorliegt, lasse mich aber gerne von anderen Usern korrigieren. Man kann jedoch noch anders vorgehen: Seien also A, B und C Aussagen. Zeigen möchten wir (A ∨ B) ∧ ¬ (A ∨ C)→A ∨ (B ∧ ¬ C). Gelte also . (*) Zu zeigen ist, dass dann auch gilt. Nach (*) wissen wir insbesondere (**). Es folgen die Aussagen (***) und (****). (Würde doch gelten, würde auch gelten im Widerspruch zu (**). Würde doch gelten, würde auch gelten im Widerspruch zu (**).) Nach (*) wissen wir insbesondere, dass gilt. Gemäß (***) muss somit B (*****) gelten. Aus (****) und (*****) folgt und damit wie gewünscht . Ich kenne euren Vorlesungskontext nicht: Sollten bei euch A, B und C nicht Aussagen bezeichnen, sondern Variablen im Rahmen einer formalen Aussagenlogik, müsste man meine Argumentation etwas anpassen. Viele Grüße Tobias |
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Etwa so wünscht man es in den Vorlesungen unter Anwendung der aussagelogischen Regeln: ??? Von den beiden Klammerausdrücken MUSS einer wahr sein und daher ist die gesamte DNF wahr, also Tautologie. |
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Tatsächlich, so ist auch ein Nachweis mithilfe von Äquivalenzumformungen möglich. Danke, Respon! :-) Wenn man nur direkte Anwendungen aussagenlogischer Grundregeln und keinerlei inhaltliche Überlegungen zulässt, wird es ziemlich aufwendig: Z.B. die Äquivalenz (A∨B)∧¬(A∨C)⇔(¬A∧B∧¬C) (erste Zeile in Respons Argumentation) scheint mir dann einige Zwischenschritte zu benötigen. Ein Hinweis an Respon noch zur Notation: Ich finde es ziemlich schwer, deine Überlegungen zu lesen, da ich mühsam erschließen musste, welche Zeilen eine allgemeingültige Behauptung darstellen sollten (z.B. deine erste Zeile) und welche Zeilen eine Umformung der Formel aus der Aufgabenstellung sein sollen (z.B. deine zweite und deine dritte Zeile). Außerdem hat mich die Verwendung von Pfeilen "" zwischen den Zeilen irritiert, da du offenbar keine Implikation zwischen den benachbarten Zeilen meinst. Ich hätte deine ersten drei Zeilen z.B. wie folgt notiert: Die Äquivalenz (A∨B)∧¬(A∨C)⇔(¬A∧B∧¬C) ist allgemeingültig. Daher ist die Formel (A∨B)∧¬(A∨C)⇒A∨(B∧¬C) aus der Aufgabenstellung äquivalent zu ¬(¬A∧B∧¬C)∨A∨(B∧¬C). |
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