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Taylor-Entwicklung, Restgliedabschätzung

Schüler

Tags: Restglied, Taylorpolynom, Taylorreihe

lisaa2222 aktiv_icon

00:24 Uhr, 28.07.2015

Führen Sie die Taylor-Entwicklung um Null bis zur fünften Ordnung für die folgende Funktion durch und schätzen Sie das Restglied ab.

f (x) = sin (x)

.

Die Taylor-Entwicklung lautet ja allgemein:

T_{n} (x_{0}) = \sum_{n = 0}^{N} \frac{f^{n} (x_{0})}{n!} \cdot {(x - x_{0})}^{n}

Dann ist um

x_{0} = 0 :

T_{5} (x_{0} = 0) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{1}{2} f^{''} (0) x^{2} + \frac{1}{6} f^{'''} (0) x^{3} + \frac{1}{24} f^{4} (0) x^{4} + \frac{1}{120} f^{5} (0) x^{5} + R_{5}

Die einzelnen Funktionen:

f (0) = sin (0) = 0

f^{'} (0) = cos (0) = 1

f^{''} (0) = - sin (0) = 0

f^{'''} (0) = - cos (0) = - 1

f^{4} (0) = sin (0) = 0

f^{5} (0) = cos (0) = 1

f^{6} (0) = - sin (0) = 0

Eingesetzt:

T_{5} (0) = x - x^{3} + x^{5} + R_{5}

Jetzt weiß ich nicht was ich mit dem Restglied

R_{5}

machen soll? Ich habe dazu nur die Formel:

R_{n} (x, x_{0}) = \frac{{(x - x)}^{n + 1}}{(n + 1)!} f^{n + 1} (ξ)

Für

R_{5}

wäre das:

R_{5} (x,0) = \frac{{(x - x_{0})}^{6}}{6!} f^{6} (ξ)

R_{5} (x,0) = - \frac{x^{6}}{6!} \cdot sin (ξ)

Ich habe aber gar keine Ahnung was dieser Ausdruck bedeutet und wie ich das Restglied nun abschätzen soll?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Roman-22

02:13 Uhr, 28.07.2015

> T_{5} (0) = x - x^{3} + x^{5} + R_{5}

Nein, das denke ich nicht!

1)

Ist das nicht

T_{5} (0),

denn

T_{5} (0) = 0

. Es ist

T_{5} (x)

2)

hast du die Divison durch die Faktoriellen vergessen

>

R5(x,0)=-x66!⋅sin(ξ)
Das ist die Lagrange-Darstellung des Restglieds und es fehlt die Information, dass es sich bei

ξ

um einen Wert handelt, der zwischen der Entwicklungsstelle

x_{0}

(bei dir

0)

und dem Wert

x

liegt.
Es wird nur ausgesagt, dass es einen Wert

ξ

gibt, der, eingesetzt in diese Formel, ganz genau das Restglied darstellt. Leider kennen wir

ξ

nicht. Also müssen wir "schlechtestmöglich" abschätzen um sicher behaupten zu können, dass der tatsächliche Fehler kleiner ist.
Wie verhält sich denn der Ausdruck

- \frac{x^{6}}{6!} \cdot sin (ξ)

für verschiedene Werte von xi? Am

x

können wir nichts ändern. Dass der Fehler umso größer wird, je weiter wir uns mit

x

von der Entwicklungsstelle 0 entfernen ist logisch. Also dieser Wert wird wohl (absolut) am größten, wenn

sin (ξ) = \pm 1

ist. Der Fehler, den wir machen, wenn wir nach dem 6.Glied (dem mit

x^{5})

abschneiden, ist also absolut sicher kleiner als

\frac{x^{6}}{6!}

Berechnen wir mit der Reihe zB näherungsweise

sin (\frac{π}{6}),

so erhalten wir

sin (\frac{π}{6}) \approx \frac{π}{6} - \frac{1}{6} \cdot {(\frac{π}{6})}^{3} + \frac{1}{120} \cdot {(\frac{π}{6})}^{5} \approx 0,500002133

und können aufgrund obiger Abschätzung sagen, dass der Fehler den wir dabei gemacht haben sicher kleiner als

\frac{{(\frac{π}{6})}^{6}}{720} \approx 2,862 \cdot 10^{- 5}

ist.
Da wir wissen, dass

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

ist, wissen wir in diesem Beispiel, dass der Fehler "genau"

2.133 \cdot 10^{- 6}

ist, also tatsächlich kleiner als der oben genannte Wert.

In diesem konkreten Beispiel könnten wir den Fehler sogar noch besser abschätzen, weil es sich um eine alternierende Reihe handelt. Bei solchen Reihen ist der absolute Fehler sicher kleiner als der Betrag des nächsten Glieds, das wäre hier

\frac{{(\frac{π}{6})}^{7}}{7!} \approx 2,141 \cdot 10^{- 6}

. Das ist schon eine sehr gute Abschätzung. Ich vermute allerdings, dass bei dieser Aufgabe von dir der erst Ansatz mit dem Lagrange-Restglied erwartet wird.

R

lisaa2222 aktiv_icon

02:44 Uhr, 28.07.2015

Sorrie, das Taylor-Polynom lautet dann:

T_{5} (x) = x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{120} x^{5} + R_{5}

Dankeschön für die mega ausführliche Antwort, hat mir sehr geholfen! :-)

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