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Taylorpolynom Problem

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Analysis, Funktionenreihen, Taylor

Johnston95 aktiv_icon

14:57 Uhr, 08.06.2018

Hey!

Ich versuche grade eine Aufgabe zu rechnen und irgendwie komme ich nicht weiter.

Ich soll das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunk 0 von:

f (x) = \int_{0}^{2 x} e^{x \cdot t} d t

berechnen.

Ich bin soweit gekommen das:

f (x) = \frac{e^{2 x^{2}} - 1}{x}

ist (bzw. Wolframalpha ist drauf gekommen, weil ich selber ganze Zeit irgendwas falsch gemacht hatte).

Nun habe ich das Problem, das Taylorpolynon funktioniert ja mit folgendem:

f (x) = f (a) + \frac{f' (a)}{1!} (x - a) + \frac{f'' (a)}{2!} {(x - a)}^{2}

Aber wenn ich meinen Entwicklungspunkt

a = 0 \in f (x)

einsetze, dann habe ich doch im Nenner eine Null und das geht nicht.

Jedoch sagt mir ein Taylorpolynom Rechner, dass es funktionieren soll.

Es wäre mir sehr hilfreich wenn mir jemand erklären kann, was ich scheinbar am Taylorpolynom falsch verstanden habe, da es ja scheinbar da bei mir hapert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:45 Uhr, 08.06.2018

Hallo,

"dann habe ich doch im Nenner eine Null und das geht nicht. "

Doch, es handelt sich um eine sogenannte hebbare Singularität: Zähler und Nenner gehen gegen 0 für

x \to 0,

aber der Bruch, also

f (x)

konvergiert, und zwar gegen 0.

Am einfachsten erhältst Du die gesuchte Taylorreihe, wenn Du in dem Ausdruck für

f (x)

die Exponentialfunktion durch ihre Taylor-Reihe ersetzt und dann umformst.

Gruß pwm

Johnston95 aktiv_icon

17:57 Uhr, 08.06.2018

Meinst du so?

\int_{0}^{2 \cdot π} \frac{e^{0 t}}{0!} \cdot {(x - 0)}^{0} + \frac{e^{0 t}}{1!} \cdot {(x - 0)}^{1} + \frac{e^{0 t}}{2!} \cdot {(x - 0)}^{2}

Johnston95 aktiv_icon

18:07 Uhr, 08.06.2018

Habe es bisschen weiter gerechnet:

\int_{0}^{2 x} 1 + x \cdot t + \frac{t^{2}}{2} x^{2} = \frac{4 x^{5}}{3} + x^{3} + 2 x

So ungefähr?

pwmeyer aktiv_icon

09:26 Uhr, 09.06.2018

Hallo,

das geht auch. Aber Du hast das

t

nicht berücksichtigt:

e^{t \cdot x} = 1 + t \cdot x + \frac{1}{2} \cdot {(t \cdot x)}^{2} + ...

.

Ich dachte allerdings eher an

e^{2 \cdot x^{2}} = 1 + 2 \cdot x^{2} + \frac{1}{2} \cdot {(2 \cdot x^{2})}^{2} + ... .

.

Gruß pwm

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